Номер 4.170, страница 297 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.170. Две линии по производству сока производили за сутки 650 т сока. После реконструкции производительность первой линии увеличилась на 10 %, а второй — на 20 %, в результате чего обе линии за сутки стали производить 750 т сока. Сколько тонн сока производила за сутки первая линия до реконструкции?

Для решения данной задачи необходимо составить и решить систему уравнений с двумя переменными.

Шаг 1: Введение переменных

Пусть $x$ — это первоначальная производительность первой линии в тоннах сока за сутки.
Пусть $y$ — это первоначальная производительность второй линии в тоннах сока за сутки.

Шаг 2: Составление первого уравнения на основе начальных данных

Из условия известно, что суммарная производительность двух линий до реконструкции составляла 650 тонн в сутки. Это можно записать в виде уравнения:
$x + y = 650$

Шаг 3: Составление второго уравнения на основе данных после реконструкции

Производительность первой линии увеличилась на 10%. Новая производительность составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной, что равно $1.1x$.
Производительность второй линии увеличилась на 20%. Новая производительность составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, что равно $1.2y$.

После реконструкции обе линии вместе стали производить 750 тонн сока в сутки. Составляем второе уравнение:
$1.1x + 1.2y = 750$

Шаг 4: Решение системы уравнений

Мы получили следующую систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 650 \\ 1.1x + 1.2y = 750 \end{cases}$

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:
$y = 650 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$1.1x + 1.2(650 - x) = 750$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$1.1x + 1.2 \cdot 650 - 1.2x = 750$
$1.1x + 780 - 1.2x = 750$
$-0.1x = 750 - 780$
$-0.1x = -30$

Умножим обе части уравнения на -10, чтобы найти $x$:
$x = 300$

Таким образом, мы выяснили, что производительность первой линии до реконструкции составляла 300 тонн сока в сутки.

Шаг 5: Проверка решения

Найдем производительность второй линии до реконструкции:
$y = 650 - 300 = 350$ тонн.

Проверим общую производительность после реконструкции:
Новая производительность первой линии: $1.1 \cdot 300 = 330$ тонн.
Новая производительность второй линии: $1.2 \cdot 350 = 420$ тонн.
Суммарная производительность: $330 + 420 = 750$ тонн.
Это значение совпадает с данными в условии задачи, значит, решение найдено верно.

Сколько тонн сока производила за сутки первая линия до реконструкции? Ответ: 300.