Номер 4.161, страница 296 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.161. Среднее арифметическое двух чисел равно 22,5, а $ \frac{1}{7} $ их разности равна $ \frac{5}{7} $. Найдите большее число.

Для решения задачи обозначим два искомых числа как $x$ и $y$. Пусть $x$ будет большим числом, а $y$ — меньшим ($x > y$).

1. Составление системы уравнений по условию задачи.

Первое условие: среднее арифметическое двух чисел равно 22,5. Математически это записывается так:

$\frac{x + y}{2} = 22,5$

Чтобы упростить уравнение, умножим обе его части на 2:

$x + y = 22,5 \cdot 2$

$x + y = 45$

Второе условие: $\frac{1}{7}$ их разности равна $\frac{5}{7}$. Разность чисел (большего и меньшего) это $x - y$. Запишем второе уравнение:

$\frac{1}{7}(x - y) = \frac{5}{7}$

Чтобы упростить это уравнение, умножим обе его части на 7:

$x - y = 5$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 45 \\ x - y = 5 \end{cases} $

2. Решение системы уравнений.

Для нахождения большего числа $x$ удобнее всего использовать метод сложения: сложим левые и правые части обоих уравнений.

$(x + y) + (x - y) = 45 + 5$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x + y + x - y = 50$

$2x = 50$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{50}{2} = 25$

Мы нашли значение большего числа $x$. Для полноты решения найдем и меньшее число $y$, подставив $x=25$ в первое уравнение:

$25 + y = 45$

$y = 45 - 25 = 20$

Таким образом, искомые числа — это 25 и 20.

Найдите большее число.
Ответ: 25