Номер 11, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

11*. На плоскости отмечено 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько существует отрезков, соединяющих пары этих точек? Решите эту задачу для 100 точек; для $n$ точек.

Эта задача относится к области комбинаторики. Чтобы найти количество отрезков, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из заданного множества. Каждый отрезок однозначно определяется двумя точками, причём порядок выбора точек не имеет значения (отрезок, соединяющий точки А и Б, — это тот же самый отрезок, что соединяет точки Б и А). Следовательно, для решения задачи нужно найти число сочетаний из $n$ по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем 2 точки ($k=2$) из $n$ доступных точек. Подставив $k=2$ в формулу, получаем:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times 1 \times (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь, используя эту общую формулу, решим задачу для каждого из предложенных случаев.

Для 10 точек

В данном случае общее количество точек $n = 10$. Подставляем это значение в выведенную формулу:

$C_{10}^2 = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Таким образом, из 10 точек можно образовать 45 отрезков.

Ответ: 45

Для 100 точек

Здесь общее количество точек $n = 100$. Снова применяем ту же формулу:

$C_{100}^2 = \frac{100 \times (100-1)}{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 50 \times 99 = 4950$

Таким образом, из 100 точек можно образовать 4950 отрезков.

Ответ: 4950

Для n точек

В общем случае, для произвольного числа точек $n$, количество отрезков, соединяющих их пары, определяется общей формулой для числа сочетаний из $n$ по 2, которую мы уже вывели.

Количество отрезков = $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Эта формула и является решением задачи для общего случая.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$