Реальная геометрия, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Реальная геометрия

Есть 12 металлических труб длиной 6 м каждая. Необходимо из этих труб сделать каркас для гаража в форме прямоугольного параллелепипеда шириной 3,5 м, длиной 5,4 м и высотой 2,5 м. Трубы разрезают на отрезки нужной длины и крепят по углам каркаса.

Определите: a) сколько труб пойдет на каркас гаража при самом экономном варианте разрезания;

б*) сколько процентов от использованных труб составят отходы.

а)

Сначала определим, какие детали и в каком количестве необходимы для каркаса гаража в форме прямоугольного параллелепипеда. Каркас состоит из 12 рёбер:

• 4 ребра длиной 5,4 м.
• 4 ребра длиной 3,5 м.
• 4 ребра высотой 2,5 м.

Исходный материал — металлические трубы длиной 6 м. Нам нужно разрезать их на указанные отрезки с минимальным количеством использованных труб (то есть с минимальными отходами).

Рассмотрим возможные комбинации разрезания одной 6-метровой трубы:

1. Отрезки по 5,4 м. Так как $5,4 + 5,4 = 10,8 > 6$, из одной 6-метровой трубы можно сделать только один отрезок длиной 5,4 м. Для изготовления 4 таких отрезков потребуется 4 трубы. Остаток с каждой трубы составит $6 - 5,4 = 0,6$ м.
2. Отрезки по 3,5 м и 2,5 м. Проверим, можно ли комбинировать отрезки разной длины на одной трубе. Сумма длин отрезков 3,5 м и 2,5 м равна $3,5 + 2,5 = 6$ м. Это идеальная комбинация, так как она позволяет использовать всю 6-метровую трубу без отходов. Нам нужно по 4 отрезка каждой из этих длин, поэтому мы можем взять 4 трубы и с каждой из них отрезать один кусок 3,5 м и один кусок 2,5 м.

Таким образом, самый экономный вариант разрезания:

• Взять 4 трубы для изготовления 4 отрезков по 5,4 м.
• Взять еще 4 трубы для изготовления 4 отрезков по 3,5 м и 4 отрезков по 2,5 м.

Общее количество труб, которое пойдет на каркас: $4 + 4 = 8$ труб.

Ответ: 8 труб.

б*)

Для решения этой задачи нужно найти общую длину использованных труб и общую длину отходов.

1. Общая длина использованных труб. Согласно решению пункта а), мы использовали 8 труб, каждая длиной 6 м. Общая длина материала составляет:
$8 \text{ труб} \times 6 \text{ м/труба} = 48$ м.

2. Общая длина полезного материала (каркаса). Найдем сумму длин всех рёбер каркаса:
$(4 \times 5,4) + (4 \times 3,5) + (4 \times 2,5) = 21,6 + 14 + 10 = 45,6$ м.

3. Общая длина отходов. Это разница между общей длиной использованных труб и общей длиной полезного материала:
$48 \text{ м} - 45,6 \text{ м} = 2,4$ м.

4. Процент отходов. Теперь найдем, какой процент составляют отходы (2,4 м) от общей длины использованных труб (48 м):
$\frac{\text{длина отходов}}{\text{общая длина использованных труб}} \times 100\% = \frac{2,4}{48} \times 100\%$

Вычислим значение:
$\frac{2,4}{48} = \frac{24}{480} = \frac{1}{20} = 0,05$

$0,05 \times 100\% = 5\%$

Ответ: 5%.