Номер 12, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

12*. На ребрах $MK$ и $KD$ куба взяты точки $E$ и $G$ (рис. 45). Из прямых $AD$, $MN$, $AM$, $NP$, $BC$ и $DC$ запишите те, которые пересекает прямая $EG$. Запишите все простые ломаные с концами в точках $A$ и $P$, звенья которых являются ребрами куба.

Рис. 45

Из прямых AD, MN, AM, NP, BC и DC запишите те, которые пересекает прямая EG.

Решение:

Точки E и G лежат на ребрах MK и KD соответственно. Оба эти ребра, MK и KD, принадлежат одной грани куба — левой грани AMKD. Следовательно, вся прямая EG лежит в плоскости грани AMKD.

Две прямые в пространстве пересекаются, только если они лежат в одной плоскости (компланарны) и не параллельны. Проанализируем каждую из указанных прямых:

• Прямая AD: Является ребром грани AMKD, поэтому она лежит в одной плоскости с прямой EG. Прямая AD параллельна ребру MK. Прямая EG проходит через точку E на MK и точку G на KD. Так как точка G не лежит на прямой MK, прямая EG не параллельна MK, а значит, не параллельна и AD. Поскольку прямые AD и EG лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются.
• Прямая AM: Также является ребром грани AMKD и лежит в одной плоскости с EG. Эти прямые не параллельны (это следует из их расположения: AM — вертикальное ребро, а EG — наклонная линия на грани). Следовательно, прямые AM и EG пересекаются.
• Прямая MN: Имеет с плоскостью грани AMKD только одну общую точку — M. Прямая EG, проходящая через точки E и G (внутренние точки ребер), не проходит через вершину M. Таким образом, прямые MN и EG являются скрещивающимися и не пересекаются.
• Прямая NP: Параллельна ребру MK, которое лежит в плоскости грани AMKD. Поскольку сама прямая NP не лежит в этой плоскости, она параллельна всей плоскости AMKD. Линия, параллельная плоскости, не может пересечь никакую линию, полностью лежащую в этой плоскости. Следовательно, NP и EG не пересекаются.
• Прямая BC: Параллельна ребру AD, которое лежит в плоскости грани AMKD. Аналогично прямой NP, прямая BC параллельна плоскости AMKD и не пересекает прямую EG.
• Прямая DC: Имеет с плоскостью грани AMKD только одну общую точку — D. Прямая EG не проходит через вершину D. Таким образом, прямые DC и EG являются скрещивающимися и не пересекаются.

Следует учесть, что на двумерной проекции (рисунке) может создаваться обманчивое впечатление пересечения скрещивающихся прямых (например, EG и MN). Решение должно основываться на геометрических свойствах трехмерного пространства.

Ответ: AD, AM.

Запишите все простые ломаные с концами в точках A и P, звенья которых являются ребрами куба.

Решение:

Вершины A и P являются противоположными вершинами куба, их соединяет пространственная диагональ. Кратчайший путь по ребрам куба между двумя противоположными вершинами всегда состоит из трех ребер. Любой такой путь является простой ломаной, так как он не имеет самопересечений.

Чтобы переместиться из вершины A в вершину P, необходимо совершить три последовательных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер. Количество таких путей равно числу перестановок этих трех перемещений, то есть $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Перечислим все 6 возможных путей (ломаных):

1. A → D → C → P
2. A → D → K → P
3. A → B → C → P
4. A → B → N → P
5. A → M → K → P
6. A → M → N → P

Ответ: A-D-C-P, A-D-K-P, A-B-C-P, A-B-N-P, A-M-K-P, A-M-N-P.