Геометрия 3D, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Геометрия 3D

Геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называется многогранником.

многогранники

Многогранник является прямоугольный параллелепипед, все шесть его граней — прямоугольники (рис. 46). Длины трех его ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Это его длина, ширина и высота. Например, $AD = a$, $DC = b$ и $DD_1 = c$ — измерения параллелепипеда. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $V = abc$.

Рис. 46

Задача. У прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 46) периметр грани $AA_1D_1D$ равен 20 см, грань $ABCD$ — квадрат с периметром 16 см.

Найдите:

а) длину пространственной ломаной $ABCC_1D_1A_1$;

б) периметр и площадь грани $DD_1C_1C$;

в) объем параллелепипеда.

Для решения задачи сначала найдем измерения прямоугольного параллелепипеда: длину $a$, ширину $b$ и высоту $c$.

Из условия известно, что грань $ABCD$ — это квадрат с периметром 16 см. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4 \times \text{сторона}$. Следовательно, длина стороны квадрата равна $16 / 4 = 4$ см. Так как основание $ABCD$ является квадратом, его длина и ширина равны: $a = AD = 4$ см и $b = DC = 4$ см.

Также по условию, периметр грани $AA₁D₁D$ равен 20 см. Эта грань является прямоугольником со сторонами $AD=a$ и $AA₁=c$. Периметр прямоугольника равен $P = 2 \times (a+c)$. Подставим известные значения: $2 \times (4 + c) = 20$. Решая уравнение, получаем $4 + c = 10$, откуда находим высоту $c = 6$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда: $a=4$ см, $b=4$ см, $c=6$ см.

а) длину пространственной ломаной ABCC₁D₁A₁

Длина пространственной ломаной — это сумма длин ее звеньев: $L = AB + BC + CC₁ + C₁D₁ + D₁A₁$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны, поэтому находим длины каждого звена:
$AB = DC = b = 4$ см
$BC = AD = a = 4$ см
$CC₁ = DD₁ = c = 6$ см
$C₁D₁ = CD = b = 4$ см
$D₁A₁ = DA = a = 4$ см

Теперь сложим длины: $L = 4 + 4 + 6 + 4 + 4 = 22$ см.

Ответ: 22 см.

б) периметр и площадь грани DD₁C₁C

Грань $DD₁C₁C$ — это прямоугольник со сторонами $DC = b = 4$ см и $DD₁ = c = 6$ см.

Периметр этой грани вычисляется по формуле $P = 2 \times (b + c)$. Подставляя значения, получаем: $P = 2 \times (4 + 6) = 2 \times 10 = 20$ см.

Площадь этой грани вычисляется по формуле $S = b \times c$. Подставляя значения, получаем: $S = 4 \times 6 = 24$ см².

Ответ: периметр 20 см, площадь 24 см².

в) объем параллелепипеда

Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $V = a \times b \times c$.

Подставляем найденные значения измерений: $V = 4 \times 4 \times 6 = 96$ см³.

Ответ: 96 см³.