Номер 16, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

16. Две окружности расположены так, что каждая проходит через центр другой окружности. Центры окружностей и точки их пересечения являются вершинами четырехугольника. Найдите периметр этого четырехугольника, если диаметр одной из окружностей равен 7 см.

Пусть центры первой и второй окружностей будут точки $O_1$ и $O_2$ соответственно, а точки их пересечения — $A$ и $B$. Четырехугольник, о котором идет речь в задаче, имеет вершины $O_1$, $A$, $O_2$, $B$.

По условию, каждая окружность проходит через центр другой. Это означает, что расстояние между центрами окружностей равно их радиусам.
Рассмотрим первую окружность с центром в $O_1$. Так как она проходит через $O_2$, то отрезок $O_1O_2$ является ее радиусом, то есть $O_1O_2 = r_1$.
Аналогично, для второй окружности с центром в $O_2$, которая проходит через $O_1$, отрезок $O_2O_1$ является ее радиусом: $O_2O_1 = r_2$.
Из этого следует, что радиусы обеих окружностей равны: $r_1 = r_2 = O_1O_2$. Обозначим этот радиус как $r$.

Теперь рассмотрим стороны четырехугольника $O_1AO_2B$. Точки $A$ и $B$ лежат на обеих окружностях, поэтому расстояние от них до любого из центров равно радиусу $r$:
$O_1A = r$ (как радиус первой окружности),
$AO_2 = r$ (как радиус второй окружности),
$O_2B = r$ (как радиус второй окружности),
$BO_1 = r$ (как радиус первой окружности).

Таким образом, все четыре стороны четырехугольника $O_1AO_2B$ равны между собой и равны радиусу $r$. Такой четырехугольник является ромбом.

Периметр $P$ этого ромба равен сумме длин всех его сторон:
$P = O_1A + AO_2 + O_2B + BO_1 = r + r + r + r = 4r$.

По условию, диаметр $d$ одной из окружностей равен 7 см. Радиус $r$ равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7 \text{ см}}{2} = 3.5 \text{ см}$.

Теперь можем найти периметр четырехугольника:
$P = 4r = 4 \times 3.5 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: 14 см.