Номер 77, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

77. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. Докажите, что биссектриса $BK$ делит треугольник $ABC$ на два равных треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, в этом треугольнике стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Отрезок $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. По определению биссектрисы, она делит угол, из вершины которого проведена, на два равных угла. Следовательно, $\angle ABK = \angle CBK$.

Биссектриса $BK$ разделяет треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$. Чтобы доказать, что эти треугольники равны, воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$:
1. Сторона $AB$ равна стороне $BC$ ( $AB = BC$ ) по условию задачи.
2. Сторона $BK$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол между этими сторонами в $\triangle ABK$ (угол $\angle ABK$) равен углу между этими сторонами в $\triangle CBK$ (угол $\angle CBK$), так как $BK$ — биссектриса.

Так как две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\triangle ABK = \triangle CBK$.

Это доказывает, что биссектриса $BK$ делит треугольник $ABC$ на два равных треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектриса $BK$, проведенная из вершины $B$ в равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$), делит его на два равных треугольника: $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$.