Номер 82, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

82*. Саша утверждает, что если треугольник ABC разрезать по медиане BM (рис. 123), то из полученных треугольников можно составить новый. Прав ли Саша? Если да, то изобразите на одном чертеже треугольник ABC и новый составленный треугольник.

Рис. 123

Прав ли Саша?

Да, Саша прав. Из двух треугольников, полученных при разрезании исходного треугольника по медиане, можно составить новый треугольник.

Пусть дан треугольник $ABC$, и $BM$ — его медиана. Разрез по медиане $BM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, поэтому отрезки $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$.

Чтобы составить новый треугольник, выполним следующее построение. Повернем треугольник $\triangle ABM$ на $180^\circ$ вокруг точки $M$. При таком преобразовании:

• Точка $M$ останется на месте.
• Точка $A$ перейдет в точку $C$, так как $M$ — середина отрезка $AC$.
• Точка $B$ перейдет в некоторую новую точку $D$, такую, что $M$ будет серединой отрезка $BD$.

В результате поворота треугольник $\triangle ABM$ перейдет в равный ему треугольник $\triangle CDM$.

Теперь мы имеем два треугольника: $\triangle CBM$ (вторая часть исходного треугольника) и $\triangle CDM$ (преобразованная первая часть). Эти два треугольника можно соединить по их общей стороне $CM$. В результате получится новый треугольник $BCD$.

Стороны нового треугольника $BCD$ будут равны:

• $BC$ (сторона исходного треугольника).
• $CD$, которая равна стороне $AB$ исходного треугольника (так как $\triangle CDM \cong \triangle ABM$).
• $BD$, которая равна удвоенной медиане $BM$ (по построению $BD = BM + MD$ и $MD = BM$, следовательно, $BD = 2BM$).

Таким образом, из частей исходного треугольника действительно можно составить новый треугольник.

Изобразите на одном чертеже треугольник ABC и новый составленный треугольник.

На чертеже ниже показан исходный треугольник $ABC$ и новый треугольник $BCD$, составленный из его частей.

На рисунке треугольник $ABC$ (обведен жирной черной линией) разрезается на два треугольника: $\triangle ABM$ (оранжевый) и $\triangle CBM$ (голубой). Треугольник $\triangle ABM$ поворачивается на $180^\circ$ вокруг точки $M$ и занимает положение $\triangle CDM$ (оранжевый, контур пунктирный). Треугольники $\triangle CBM$ и $\triangle CDM$ вместе образуют новый треугольник $BCD$ (обведен жирной синей линией).

Ответ: Да, Саша прав.