Номер 79, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

79. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AK, CM$ и $BN$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AM + BK + CN = 28$ дм.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AK$, $CM$ и $BN$.

• Так как $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, то точка $M$ является серединой $AB$. Следовательно, длина всей стороны $AB$ равна удвоенной длине отрезка $AM$: $AB = 2 \cdot AM$.
• Так как $AK$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, то точка $K$ является серединой $BC$. Следовательно, длина всей стороны $BC$ равна удвоенной длине отрезка $BK$: $BC = 2 \cdot BK$.
• Так как $BN$ — медиана, проведенная к стороне $AC$, то точка $N$ является серединой $AC$. Следовательно, длина всей стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $CN$: $AC = 2 \cdot CN$.

Периметр треугольника $ABC$, обозначим его $P_{ABC}$, равен сумме длин всех его сторон:$P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Теперь подставим в формулу периметра выражения для сторон, полученные из определения медиан:$P_{ABC} = (2 \cdot AM) + (2 \cdot BK) + (2 \cdot CN)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:$P_{ABC} = 2 \cdot (AM + BK + CN)$.

Из условия задачи известно, что $AM + BK + CN = 28$ дм. Подставим это значение в полученную формулу:$P_{ABC} = 2 \cdot 28 = 56$ дм.

Ответ: 56 дм.