Задание 1, страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 1

На рисунке изображены высота, медиана и биссектриса треугольника $ABC$. Найдите эти отрезки.

Для определения высоты, медианы и биссектрисы треугольника $ABC$ на рисунке, воспользуемся их определениями и визуальным анализом.

Высота

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Нам нужно найти отрезок, который образует прямой угол ($90^\circ$) со стороной, к которой он проведен.

1. Рассмотрим отрезки $BK$ и $BM$, проведенные из вершины $B$ к стороне $AC$. Сторона $AC$ расположена на горизонтальной линии сетки. Высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$, должна быть перпендикулярна ей, то есть должна быть вертикальным отрезком. Ни $BK$, ни $BM$ не являются вертикальными, следовательно, они не высоты.
2. Рассмотрим отрезок $AN$, проведенный из вершины $A$ к стороне $BC$. Визуально угол $\angle ANC$ наиболее близок к прямому. Среди всех представленных отрезков только $AN$ является наиболее вероятным кандидатом на роль высоты.

Ответ: $AN$ — высота.

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Она делит противоположную сторону на два равных отрезка.

1. После определения высоты у нас остались отрезки $BK$ и $BM$. Оба проведены из вершины $B$ к стороне $AC$. Следовательно, один из них является медианой, и его конец должен лежать на середине стороны $AC$.
2. Посчитаем длину стороны $AC$ по клеткам. От точки $A$ до точки $C$ — 7 клеток. Середина стороны $AC$ находится на расстоянии $7 / 2 = 3.5$ клетки от точки $A$.
3. Точка $M$ находится на расстоянии 3 клеток от точки $A$. Точка $K$ находится на расстоянии примерно 2.5 клеток от точки $A$.
4. Точка $M$ расположена значительно ближе к середине стороны $AC$, чем точка $K$. Несмотря на возможную неточность рисунка, логично предположить, что именно $BM$ является медианой.

Ответ: $BM$ — медиана.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который делит соответствующий угол на два равных угла.

1. Методом исключения, так как мы уже определили, что $AN$ — это высота, а $BM$ — медиана, оставшийся отрезок $BK$ должен быть биссектрисой.
2. Биссектриса $BK$ проведена из вершины $B$, а значит, она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.
3. Существует свойство, что в любом треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. Мы определили, что из вершины $B$ проведены медиана $BM$ и биссектриса $BK$. Высота из вершины $B$ (не показанная на рисунке явно как отдельный отрезок) была бы вертикальной линией и пересекала бы $AC$ в точке левее $K$ и $M$. Порядок оснований этих отрезков на стороне $AC$ (считая от $A$) был бы: основание высоты, точка $K$, точка $M$. Это соответствует свойству, что подтверждает наш вывод.

Ответ: $BK$ — биссектриса.