Номер 73, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

73*. При помощи примера покажите, что если у $\triangle ABC$ и $\triangle A_1 B_1 C_1$ $AB = A_1 B_1$, $AC = A_1 C_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то эти треугольники не обязательно равны.

Для того чтобы показать, что треугольники не обязательно равны при выполнении заданных условий, достаточно привести один контрпример. Построим два различных треугольника, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых будут соответственно равны две стороны и угол, не лежащий между ними, но сами треугольники не будут равны.

Этот случай в геометрии известен как неоднозначный случай при решении треугольников по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (признак равенства "Сторона-Сторона-Угол" не работает в общем случае).

Рассмотрим построение такого примера.

Пусть в $ \triangle ABC $ заданы следующие параметры:

• сторона $AB = 6$
• сторона $AC = 5$
• угол $ \angle B = 30^\circ $

Найдем длину третьей стороны $BC$ с помощью теоремы косинусов. Для $ \triangle ABC $ теорема косинусов, примененная к углу $B$, выглядит так:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения:

$5^2 = 6^2 + BC^2 - 2 \cdot 6 \cdot BC \cdot \cos(30^\circ)$

$25 = 36 + BC^2 - 12 \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$25 = 36 + BC^2 - 6\sqrt{3} \cdot BC$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно длины стороны $BC$:

$BC^2 - 6\sqrt{3} \cdot BC + 11 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D$ равен:

$D = ( -6\sqrt{3} )^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 \cdot 3 - 44 = 108 - 44 = 64$

Поскольку дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня для длины стороны $BC$:

$BC = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \pm 8}{2} = 3\sqrt{3} \pm 4$

Оба корня положительны ($3\sqrt{3} \approx 5.2$, поэтому $3\sqrt{3} - 4 > 0$), значит, существует два треугольника, удовлетворяющих исходным данным.

Теперь мы можем определить два разных треугольника.

Первый треугольник: $ \triangle ABC $

• $AB = 6$
• $AC = 5$
• $BC = 3\sqrt{3} + 4$
• $\angle B = 30^\circ$

Второй треугольник: $ \triangle A_1B_1C_1 $

• $A_1B_1 = 6$
• $A_1C_1 = 5$
• $B_1C_1 = 3\sqrt{3} - 4$
• $\angle B_1 = 30^\circ$

Сравним эти два треугольника. У них выполняются условия из задачи:

• $AB = A_1B_1 = 6$
• $AC = A_1C_1 = 5$
• $\angle B = \angle B_1 = 30^\circ$

Однако, их третьи стороны не равны:

$BC = 3\sqrt{3} + 4 \neq 3\sqrt{3} - 4 = B_1C_1$

Поскольку не все соответствующие стороны треугольников равны, $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ не являются равными (конгруэнтными).

Таким образом, мы на примере показали, что при равенстве двух сторон и угла, не лежащего между ними, треугольники не обязательно равны.

Ответ:
Рассмотрим два треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
Пусть у $ \triangle ABC $ стороны $AB = 6$, $AC = 5$ и угол $\angle B = 30^\circ$. Длина стороны $BC$ может быть найдена из уравнения $BC^2 - 6\sqrt{3} \cdot BC + 11 = 0$ и равна $3\sqrt{3} + 4$.
Пусть у $ \triangle A_1B_1C_1 $ стороны $A_1B_1 = 6$, $A_1C_1 = 5$ и угол $\angle B_1 = 30^\circ$. Длина стороны $B_1C_1$ также может быть найдена из того же уравнения и равна $3\sqrt{3} - 4$.
Для этих треугольников выполняются условия $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Однако, так как $BC \neq B_1C_1$, сами треугольники не равны.