Номер 70, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

70. На рисунке 117 $\angle BAC = \angle NKM$, $\angle AMN = \angle KCB$, $AM = KC$. Докажите, что:

a) $\triangle ABC = \triangle KNM$;

б) $AN = KB$.

Puc. 117

a)

Для доказательства равенства треугольников $\Delta ABC$ и $\Delta KNM$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Найдем равные стороны.
Точки A, M, C, K лежат на одной прямой. Длина отрезка $AC$ складывается из длин отрезков $AM$ и $MC$: $AC = AM + MC$.
Длина отрезка $MK$ складывается из длин отрезков $MC$ и $CK$: $MK = MC + CK$.
По условию $AM = KC$. Подставим это равенство в выражение для $AC$: $AC = KC + MC$.
Таким образом, мы видим, что $AC = MK$.

2. Найдем равные углы.
По условию нам дано, что $\angle BAC = \angle NKM$. Это первая пара равных углов.

Теперь докажем, что $\angle BCA = \angle NMK$.
Углы $\angle AMN$ и $\angle NMK$ являются смежными, так как их общая сторона $MN$ делит развернутый угол на прямой $AK$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle NMK = 180^\circ - \angle AMN$.
Аналогично, углы $\angle BCA$ и $\angle KCB$ являются смежными. Следовательно, $\angle BCA = 180^\circ - \angle KCB$.
По условию задачи $\angle AMN = \angle KCB$. Так как правые части выражений для $\angle NMK$ и $\angle BCA$ содержат вычитание равных углов из $180^\circ$, то и сами углы равны.
Следовательно, $\angle BCA = \angle NMK$. Это вторая пара равных углов.

3. Вывод.
В треугольниках $\Delta ABC$ и $\Delta KNM$ имеем:

• $\angle BAC = \angle NKM$ (по условию)
• $AC = MK$ (доказано в п.1)
• $\angle BCA = \angle NMK$ (доказано в п.2)

Таким образом, $\Delta ABC = \Delta KNM$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA).

Ответ: Равенство $\Delta ABC = \Delta KNM$ доказано.

б)

Для доказательства равенства отрезков $AN$ и $KB$ докажем равенство треугольников $\Delta AMN$ и $\Delta KCB$, сторонами которых являются эти отрезки.

1. Найдем равные элементы в $\Delta AMN$ и $\Delta KCB$.
Из доказанного в пункте а) равенства $\Delta ABC = \Delta KNM$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $BC$ из $\Delta ABC$ равна соответствующей ей стороне $NM$ из $\Delta KNM$. То есть, $BC = NM$.

2. Применим первый признак равенства треугольников.
Рассмотрим $\Delta AMN$ и $\Delta KCB$. У них:

• $AM = KC$ (по условию)
• $\angle AMN = \angle KCB$ (по условию)
• $NM = BC$ (доказано выше)

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($AM$, $NM$ и $\angle AMN$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($KC$, $BC$ и $\angle KCB$).
Следовательно, $\Delta AMN = \Delta KCB$ по первому признаку равенства треугольников (SAS).

3. Вывод.
Из равенства треугольников $\Delta AMN$ и $\Delta KCB$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в $\Delta AMN$ соответствует стороне $KB$ в $\Delta KCB$.
Значит, $AN = KB$.

Ответ: Равенство $AN = KB$ доказано.