Номер 68, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

68. Дан отрезок $AD$. В одной полуплоскости относительно прямой $AD$ лежат точки $B$ и $C$ такие, что $\angle BAD = \angle CDA$, $\angle BAC = \angle CDB$. Найдите длины отрезков $AC$ и $CD$, если $AB = 5 \text{ см}$, $BD = 6 \text{ см}$.

Решение:

обозначим данные углы: $\angle BAD = \angle CDA = \alpha$ и $\angle BAC = \angle CDB = \beta$.

точки $B$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AD$. это означает, что лучи $AB$ и $AC$ исходят из вершины $A$ в эту полуплоскость, а лучи $DB$ и $DC$ исходят из вершины $D$ в эту же полуплоскость.

рассмотрим углы $\angle CAD$ и $\angle ADB$. их величины зависят от взаимного расположения точек $B$ и $C$ относительно друг друга (в угловом смысле от $AD$).

возможны два основных случая для расположения лучей $AB$ и $AC$ относительно $AD$, а также $DB$ и $DC$ относительно $DA$:

1. луч $AC$ находится между лучом $AD$ и лучом $AB$. в этом случае $\angle CAD = |\angle BAD - \angle BAC| = |\alpha - \beta|$.
одновременно, луч $DB$ находится между лучом $DA$ и лучом $DC$. в этом случае $\angle ADB = |\angle CDA - \angle CDB| = |\alpha - \beta|$.

2. луч $AB$ находится между лучом $AD$ и лучом $AC$. в этом случае $\angle CAD = \angle BAD + \angle BAC = \alpha + \beta$.
одновременно, луч $DC$ находится между лучом $DA$ и лучом $DB$. в этом случае $\angle ADB = \angle CDA + \angle CDB = \alpha + \beta$.

в обоих случаях мы приходим к равенству углов: $\angle CAD = \angle ADB$.

теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

сравним их углы:

• $\angle BAD = \alpha$ (угол в $\triangle ABD$)
• $\angle CDA = \alpha$ (угол в $\triangle DCA$)

таким образом, у этих треугольников есть по одному равному углу при вершинах $A$ и $D$ соответственно.

далее, мы установили, что $\angle ADB = \angle CAD$.

следовательно, мы имеем два равных угла в $\triangle ABD$ (это $\angle BAD$ и $\angle ADB$) и два равных угла в $\triangle DCA$ (это $\angle CDA$ и $\angle CAD$).

поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то третий угол в $\triangle ABD$ равен $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB$.

аналогично, третий угол в $\triangle DCA$ равен $\angle ACD = 180^\circ - \angle CDA - \angle CAD$.

так как $\angle BAD = \angle CDA$ и $\angle ADB = \angle CAD$, то мы заключаем, что $\angle ABD = \angle ACD$.

таким образом, все соответствующие углы треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны:$\angle BAD = \angle CDA = \alpha$$\angle ADB = \angle CAD$$\angle ABD = \angle ACD$

это означает, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ подобны по признаку УУУ (подобие по трем углам). соответствие вершин при подобии: $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow C$, $D \leftrightarrow A$.

из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AB}{DC} = \frac{BD}{CA} = \frac{AD}{DA}$

поскольку сторона $AD$ является общей для обоих треугольников, то $AD = DA$, и, следовательно, отношение $\frac{AD}{DA} = 1$.

это означает, что коэффициент подобия равен $1$, и, таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ не только подобны, но и конгруэнтны (равны).

из конгруэнтности треугольников следует равенство их соответствующих сторон:

• $AB = DC$
• $BD = CA$

нам даны длины отрезков $AB = 5$ см и $BD = 6$ см.

подставляем эти значения:

• $CD = AB = 5$ см
• $AC = BD = 6$ см

Ответ: $AC = 6$ см, $CD = 5$ см.