Номер 66, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

66. Пользуясь данными на рисунках 116, а—г, докажите, что:

а) $\triangle ABC = \triangle ADC;$

б) $\triangle AOB = \triangle COD$ (где $AO = CO$);

в) $\triangle ABM = \triangle CBM;$

г) $\triangle ABM = \triangle ACK; \triangle KBO = \triangle MCO.$

Рис. 116

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
Согласно данным на рисунке, у них есть общая сторона $AC$. Прилежащие к этой стороне углы соответственно равны: $ \angle BAC = \angle DAC $ и $ \angle BCA = \angle DCA $.
Следовательно, $ \triangle ABC = \triangle ADC $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $.
По условию задачи $ AO = CO $. Из рисунка видно, что $ \angle OAB = \angle OCD $.
Углы $ \angle AOB $ и $ \angle COD $ являются вертикальными, поэтому они равны: $ \angle AOB = \angle COD $.
Таким образом, $ \triangle AOB = \triangle COD $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Рассмотрим треугольники $ \triangle ABM $ и $ \triangle CBM $.
Сторона $BM$ у них общая.
По данным рисунка, $ \angle ABM = \angle CBM $.
Также на рисунке указано, что $ BM \perp AC $, следовательно, $ \angle BMA = \angle BMC = 90^\circ $.
Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle CBM $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Сначала докажем, что $ \triangle ABM = \triangle ACK $. Рассмотрим эти треугольники. У них угол $ \angle A $ — общий. По данным на рисунке, сторона $ AM $ треугольника $ \triangle ABM $ равна стороне $ AK $ треугольника $ \triangle ACK $, а прилежащие к этим сторонам углы также равны: $ \angle A = \angle A $ и $ \angle AMB = \angle AKC $. Следовательно, $ \triangle ABM = \triangle ACK $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Теперь докажем, что $ \triangle KBO = \triangle MCO $. Из доказанного равенства $ \triangle ABM = \triangle ACK $ следует, что их соответственные элементы равны: $ AB = AC $ и $ \angle ABM = \angle ACK $ (то есть $ \angle KBO = \angle MCO $).
Поскольку $ AB = AC $ и $ AK = AM $ (по условию), то $ KB = AB - AK $ и $ MC = AC - AM $, откуда следует, что $ KB = MC $.
Рассмотрим треугольники $ \triangle KBO $ и $ \triangle MCO $. У них $ KB = MC $ (по доказанному), $ \angle KBO = \angle MCO $ (по доказанному), и $ \angle KOB = \angle MOC $ (как вертикальные углы).
Так как у треугольников равны две пары углов, то равны и третьи углы: $ \angle BKO = \angle CMO $. Таким образом, $ \triangle KBO = \triangle MCO $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне $KB$ и прилежащим к ней углам $ \angle KBO $ и $ \angle BKO $).
Ответ: Что и требовалось доказать.