Номер 62, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

62*. Докажите, что если каждую сторону треугольника увеличить в 3 раза, то и его периметр увеличится также в 3 раза, а если увеличить в $k$ раз, то периметр увеличится в $k$ раз.

Для доказательства обоих утверждений введем обозначения. Пусть стороны исходного треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Его периметр $P$ равен сумме длин этих сторон: $P = a + b + c$.

Если каждую сторону треугольника увеличить в 3 раза, то и его периметр увеличится также в 3 раза

Если каждую сторону треугольника увеличить в 3 раза, то длины новых сторон станут $3a$, $3b$ и $3c$. Найдем периметр нового треугольника, обозначив его $P_1$: $P_1 = 3a + 3b + 3c$.

Используя распределительное свойство умножения, вынесем общий множитель 3 за скобки: $P_1 = 3(a + b + c)$.

Так как выражение в скобках, $(a + b + c)$, равно периметру исходного треугольника $P$, мы можем заменить его: $P_1 = 3 \cdot P$.

Это означает, что новый периметр в 3 раза больше исходного. Таким образом, первое утверждение доказано.

Ответ: Периметр увеличится в 3 раза.

Если увеличить в k раз, то периметр увеличится в k раз

Теперь докажем утверждение для общего случая. Пусть каждая сторона треугольника увеличивается в $k$ раз, где $k$ — некоторое положительное число. Тогда новые стороны треугольника будут равны $ka$, $kb$ и $kc$. Периметр нового треугольника, обозначим его $P_2$, будет равен: $P_2 = ka + kb + kc$.

Вынесем общий множитель $k$ за скобки: $P_2 = k(a + b + c)$.

Заменим сумму в скобках на периметр исходного треугольника $P$: $P_2 = k \cdot P$.

Это равенство показывает, что при увеличении каждой стороны треугольника в $k$ раз, его периметр также увеличивается в $k$ раз. Второе утверждение доказано.

Ответ: Периметр увеличится в $k$ раз.