Номер 64, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

64. На рисунке 115 $AC = DB$, $\angle CAD = \angle BDA$.

Докажите, что:

а) $\angle B = \angle C$;

б) $\angle BAC = \angle CDB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$.

В этих треугольниках:

• $AC = DB$ (по условию).
• $\angle CAD = \angle BDA$ (по условию).
• $AD$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ACD = \triangle DBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

а)

Так как треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$ равны, то их соответственные углы равны. Угол $\angle C$ (также обозначаемый как $\angle ACD$) в треугольнике $\triangle ACD$ является соответственным углу $\angle B$ (также обозначаемому как $\angle DBA$) в треугольнике $\triangle DBA$.

Следовательно, $\angle C = \angle B$.

Ответ: Доказано, что $\angle B = \angle C$.

б)

Из равенства треугольников $\triangle ACD = \triangle DBA$ также следует равенство других соответственных углов: $\angle CDA = \angle BAD$.

Из рисунка видно, что эти углы состоят из других углов:

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA$

Так как $\angle CDA = \angle BAD$, мы можем приравнять их выражения:

$\angle CDB + \angle BDA = \angle BAC + \angle CAD$

По условию задачи нам дано, что $\angle CAD = \angle BDA$. Мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей равенства:

$\angle CDB + \angle BDA - \angle BDA = \angle BAC + \angle CAD - \angle CAD$

В результате получаем:

$\angle CDB = \angle BAC$

Ответ: Доказано, что $\angle BAC = \angle CDB$.