Номер 61, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

61. В прямоугольной системе координат отмечены точки $A(-4; 4)$, $B(-4; 0)$, $C(3; 0)$, точка $O(0; 0)$ — начало координат. Классифицируйте треугольники ABO, AOC и ABC относительно сторон и относительно углов.

Для классификации треугольников по сторонам и углам найдем квадраты длин их сторон, используя формулу квадрата расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Классификацию по углам проведем с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора. Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, и $c$ — наибольшая сторона. Если $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник прямоугольный; если $a^2 + b^2 < c^2$ — тупоугольный; если $a^2 + b^2 > c^2$ — остроугольный.

ABO

Вершины треугольника: $A(-4; 4)$, $B(-4; 0)$, $O(0; 0)$.
Найдем квадраты длин сторон:
$AB^2 = (-4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = 0^2 + (-4)^2 = 16$.
$BO^2 = (0 - (-4))^2 + (0 - 0)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.
$AO^2 = (0 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = 4^2 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$.
Классификация по сторонам: так как $AB^2 = BO^2 = 16$, то и длины сторон $AB$ и $BO$ равны. Следовательно, треугольник ABO — равнобедренный.
Классификация по углам: сравним квадрат наибольшей стороны $AO^2$ с суммой квадратов двух других сторон: $AB^2 + BO^2 = 16 + 16 = 32$. Поскольку $AB^2 + BO^2 = AO^2$ ($32=32$), треугольник ABO является прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABO — равнобедренный, прямоугольный.

AOC

Вершины треугольника: $A(-4; 4)$, $O(0; 0)$, $C(3; 0)$.
Найдем квадраты длин сторон:
$AO^2 = 32$ (из предыдущего пункта).
$OC^2 = (3 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$.
$AC^2 = (3 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = 7^2 + (-4)^2 = 49 + 16 = 65$.
Классификация по сторонам: квадраты длин всех сторон различны ($32 \neq 9 \neq 65$), значит, и длины сторон различны. Следовательно, треугольник AOC — разносторонний.
Классификация по углам: сравним квадрат наибольшей стороны $AC^2$ с суммой квадратов двух других сторон: $AO^2 + OC^2 = 32 + 9 = 41$. Поскольку $AO^2 + OC^2 < AC^2$ ($41 < 65$), треугольник AOC является тупоугольным.

Ответ: Треугольник AOC — разносторонний, тупоугольный.

ABC

Вершины треугольника: $A(-4; 4)$, $B(-4; 0)$, $C(3; 0)$.
Найдем квадраты длин сторон:
$AB^2 = 16$ (из первого пункта).
$BC^2 = (3 - (-4))^2 + (0 - 0)^2 = 7^2 + 0^2 = 49$.
$AC^2 = 65$ (из второго пункта).
Классификация по сторонам: квадраты длин всех сторон различны ($16 \neq 49 \neq 65$), значит, и длины сторон различны. Следовательно, треугольник ABC — разносторонний.
Классификация по углам: сравним квадрат наибольшей стороны $AC^2$ с суммой квадратов двух других сторон: $AB^2 + BC^2 = 16 + 49 = 65$. Поскольку $AB^2 + BC^2 = AC^2$ ($65=65$), треугольник ABC является прямоугольным.

Ответ: Треугольник ABC — разносторонний, прямоугольный.