Номер 58, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

58. На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ построен равносторонний треугольник $AKD$, где точка $K$ лежит внутри квадрата. Найдите отношение периметра квадрата к периметру многоугольника $ABCDK$.

Пусть длина стороны квадрата $ABCD$ равна $a$. По определению квадрата, все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = a$.

Периметр квадрата, обозначим его $P_{ABCD}$, вычисляется как сумма длин всех его сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = a + a + a + a = 4a$.

На стороне $AD$ построен равносторонний треугольник $AKD$. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны. Поскольку он построен на стороне $AD$, то длина его сторон равна длине стороны квадрата:
$AK = KD = DA = a$.

Точка $K$ лежит внутри квадрата, поэтому многоугольник $ABCDK$ является пятиугольником. Его периметр, обозначим его $P_{ABCDK}$, складывается из длин сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DK$ и $KA$. Сторона $AD$ является общей для квадрата и треугольника и находится внутри нового многоугольника, поэтому она не входит в его периметр.

Найдем периметр многоугольника $ABCDK$:
$P_{ABCDK} = AB + BC + CD + DK + KA = a + a + a + a + a = 5a$.

Теперь найдем искомое отношение периметра квадрата к периметру многоугольника $ABCDK$:
$\frac{P_{ABCD}}{P_{ABCDK}} = \frac{4a}{5a}$.

Сократив $a$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное значение отношения:
$\frac{4a}{5a} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$