Номер 51, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

51. Треугольники $ABC$ и $KMN$ можно совместить наложением. При этом совпадут $\angle A$ и $\angle K$, $\angle B$ и $\angle M$. Если $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см, то чему равны длины сторон $MN$, $NK$ и $MK$ треугольника $MNK$?

Поскольку треугольники $ABC$ и $KMN$ можно совместить наложением, они являются равными (конгруэнтными). В равных треугольниках соответствующие углы и соответствующие стороны равны.

Из условия задачи нам известно, как соотносятся углы треугольников при наложении: $\angle A$ совпадает с $\angle K$, а $\angle B$ совпадает с $\angle M$. Это означает, что $\angle A = \angle K$ и $\angle B = \angle M$. Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то и третьи углы этих треугольников равны: $\angle C = \angle N$.

Равенство соответствующих углов определяет равенство противолежащих им сторон. Установим соответствие между сторонами:
- Сторона $MN$ в треугольнике $KMN$ лежит напротив угла $K$. Так как $\angle K = \angle A$, то сторона $MN$ равна стороне, лежащей напротив угла $A$ в треугольнике $ABC$, то есть стороне $BC$. Таким образом, $MN = BC$.
- Сторона $NK$ в треугольнике $KMN$ лежит напротив угла $M$. Так как $\angle M = \angle B$, то сторона $NK$ равна стороне, лежащей напротив угла $B$ в треугольнике $ABC$, то есть стороне $AC$. Таким образом, $NK = AC$.
- Сторона $MK$ в треугольнике $KMN$ лежит напротив угла $N$. Так как $\angle N = \angle C$, то сторона $MK$ равна стороне, лежащей напротив угла $C$ в треугольнике $ABC$, то есть стороне $AB$. Таким образом, $MK = AB$.

По условию даны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.
Подставляя эти значения, находим искомые длины сторон треугольника $KMN$:
$MN = BC = 6$ см.
$NK = AC = 7$ см.
$MK = AB = 5$ см.

Ответ: $MN = 6$ см, $NK = 7$ см, $MK = 5$ см.