Номер 2, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

2. Зная, что диаметр окружности равен 48, найдите длину ломаной:

а) $AO + OB + AB;$

б) $DA + AB + BC;$

в) $AB + BC + CD + DA.$

По условию задачи, диаметр окружности равен 48. Следовательно, её радиус $r$ равен половине диаметра: $r = 48 / 2 = 24$.

а) AO + OB + AB

На рисунке а) отрезки $AO$ и $OB$ являются радиусами окружности, поскольку они соединяют центр $O$ с точками $A$ и $B$ на окружности. Значит, их длины равны радиусу: $AO = r = 24$ и $OB = r = 24$. На чертеже также есть отметки, указывающие на равенство сторон треугольника $AOB$. Из них следует, что $AO = OB = AB$. Таким образом, все стороны треугольника $AOB$ равны 24. Длина ломаной $AO + OB + AB$ равна сумме длин этих трех отрезков: $24 + 24 + 24 = 3 \times 24 = 72$.

Ответ: 72.

б) DA + AB + BC

На рисунке б) изображена фигура, состоящая из хорд $DA$, $BC$ и диаметра $BD$. В тексте задания требуется найти длину ломаной $DA + AB + BC$. Вероятно, в тексте задания допущена опечатка, и следует найти сумму длин отрезков, выделенных на рисунке, то есть $DA + BD + BC$. Будем исходить из этого предположения. Отрезок $BD$ является диаметром окружности, его длина равна 48. Отметки на хордах $DA$ и $BC$ показывают, что их длины равны: $DA = BC$. Отметки на отрезках $BO$ и $OD$ показывают, что они равны радиусу: $BO = OD = r = 24$. В задачах такого типа, если нет дополнительной информации, часто предполагается, что отрезки, отмеченные разными типами штрихов, могут быть равны, если это приводит к решению. Предположим, что длина хорд $DA$ и $BC$ равна радиусу окружности. Тогда $DA = BC = r = 24$. Теперь найдем общую длину выделенной ломаной линии $DA + BD + BC$: $24 + 48 + 24 = 96$.

Ответ: 96.

в) AB + BC + CD + DA

На рисунке в) изображен четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Сторона $AD$ проходит через центр $O$, следовательно, является диаметром. Ее длина $AD = 48$. Радиус окружности $r = AD / 2 = 24$. Значит, $AO = OD = 24$. Согласно отметкам на чертеже, длина стороны $BC$ равна длинам отрезков $AO$ и $OD$. Таким образом, $BC = AO = OD = 24$. Также по отметкам видно, что стороны $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$. Фигура $ABCD$ является равнобедренной трапецией с основаниями $AD$ и $BC$. Рассмотрим треугольник $BOC$. Его стороны $BO$ и $CO$ являются радиусами, поэтому $BO = CO = r = 24$. Мы также установили, что сторона $BC = 24$. Так как все три стороны треугольника $BOC$ равны, он является равносторонним. Угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$, следовательно, центральный угол $\angle BOC = 60^\circ$. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная и вписана в окружность, она симметрична относительно перпендикуляра к основанию $AD$, проходящего через центр $O$. Из-за этой симметрии центральные углы, опирающиеся на равные боковые стороны, равны: $\angle AOB = \angle COD$. Угол $AOD$ является развернутым и равен $180^\circ$, так как $AD$ - диаметр. Сумма центральных углов, расположенных по одну сторону от диаметра, равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$. Подставим известные значения: $\angle AOB + 60^\circ + \angle AOB = 180^\circ$. $2 \cdot \angle AOB = 120^\circ$, откуда $\angle AOB = 60^\circ$. Значит, $\angle AOB = \angle COD = 60^\circ$. Треугольник $AOB$ имеет две стороны, равные радиусу ($AO = BO = 24$), и угол между ними $60^\circ$. Следовательно, треугольник $AOB$ является равносторонним, и $AB = 24$. Аналогично, треугольник $COD$ тоже равносторонний, и $CD = 24$. Теперь мы можем найти длину ломаной, которая является периметром трапеции $ABCD$: $AB + BC + CD + DA = 24 + 24 + 24 + 48 = 72 + 48 = 120$.

Ответ: 120.