Номер 1, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

1. Сколько углов, меньших $180^\circ$, изображено на рисунках а)—в)?

а) A B C D E

б) A B C M

в) A B C D K M

а)

На рисунке изображены четыре луча, выходящие из одной точки А: АВ, АЕ, AD и АС. Угол образуется любой парой этих лучей. Чтобы найти количество углов, нужно найти количество способов выбрать 2 луча из 4. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n=4$ (общее количество лучей) и $k=2$ (количество лучей, образующих угол).

Количество углов = $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Также можно перечислить все углы: ∠CAB, ∠CAD, ∠CAE, ∠DAB, ∠DAE, ∠EAB. Все эти углы имеют градусную меру меньше 180°.

Ответ: 6.

б)

На рисунке изображен треугольник ABC и отрезок BM. Подсчитаем количество углов, меньших 180°, в каждой из вершин и в точке M.

• В вершине A: 1 угол (∠BAC).
• В вершине C: 1 угол (∠BCA).
• В вершине B: 3 угла, образованные лучами BA, BM, BC. Это углы ∠ABM, ∠MBC и составной угол ∠ABC.
• В точке M на стороне AC: отрезок BM образует со стороной AC два смежных угла ∠BMA и ∠BMC. Их сумма равна 180°, следовательно, каждый из них меньше 180°. (Угол ∠AMC является развернутым, его градусная мера равна 180°, поэтому мы его не считаем).

Общее количество углов: $1 + 1 + 3 + 2 = 7$.

Перечислим их: ∠BAC, ∠BCA, ∠ABC, ∠ABM, ∠CBM, ∠BMA, ∠BMC.

Ответ: 7.

в)

На рисунке изображен прямоугольник ABCD, в котором проведены диагональ BD и отрезок CM (M лежит на AD). Отрезки BD и CM пересекаются в точке K. Подсчитаем количество углов, меньших 180°, в каждой из вершин и в точках M и K.

• В вершине A: 1 угол (∠BAD).
• В вершине B: 3 угла, образованные лучами BA, BD, BC (∠ABD, ∠DBC, ∠ABC).
• В вершине C: 3 угла, образованные лучами CB, CM, CD (∠BCM, ∠MCD, ∠BCD).
• В вершине D: 3 угла, образованные лучами DA, DB, DC (∠ADB, ∠BDC, ∠ADC).
• В точке M: 2 смежных угла, образованные отрезком CM и прямой AD (∠CMA, ∠CMD).
• В точке K: 4 угла, образованные при пересечении отрезков BD и CM (∠BKC, ∠CKD, ∠DKM, ∠MKB).

Общее количество углов: $1 + 3 + 3 + 3 + 2 + 4 = 16$.

Все перечисленные углы меньше 180°.

Ответ: 16.