Номер 3, страница 53 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Задание 3

Для углов $1, 2, 3$ и $4$ сумма каких-то двух из них на $100^\circ$ больше суммы двух оставшихся. Найдите углы $1, 2, 3$ и $4$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Углы, расположенные друг напротив друга, называются вертикальными, и они равны. Углы, имеющие общую сторону, называются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Из рисунка видно, что $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются вертикальными, как и $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $. Следовательно, мы можем записать: $ \angle 1 = \angle 3 $ $ \angle 2 = \angle 4 $ Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении, составляет $360^\circ$: $ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ $

Пусть сумма одной пары углов будет $ S_1 $, а сумма двух оставшихся — $ S_2 $. Согласно условию задачи, одна из этих сумм на $100^\circ$ больше другой. Запишем это в виде системы уравнений: $ S_1 - S_2 = 100^\circ $ $ S_1 + S_2 = 360^\circ $ (так как это сумма всех четырех углов)

Решим эту систему. Сложим два уравнения: $ (S_1 - S_2) + (S_1 + S_2) = 100^\circ + 360^\circ $ $ 2S_1 = 460^\circ $ $ S_1 = 230^\circ $ Теперь найдем $ S_2 $, подставив значение $ S_1 $ в одно из уравнений: $ 230^\circ + S_2 = 360^\circ $ $ S_2 = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ $ Таким образом, суммы двух пар углов равны $230^\circ$ и $130^\circ$.

Теперь определим, какие углы составляют эти пары. Если мы сгруппируем смежные углы (например, $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $), их сумма всегда будет $180^\circ$. Это не соответствует найденным нами суммам $230^\circ$ и $130^\circ$. Следовательно, пары должны быть образованы вертикальными углами: ($ \angle 1 $, $ \angle 3 $) и ($ \angle 2 $, $ \angle 4 $).

На рисунке видно, что углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ — острые, а углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ — тупые. Логично предположить, что сумма тупых углов будет больше суммы острых углов. Таким образом: $ \angle 2 + \angle 4 = 230^\circ $ $ \angle 1 + \angle 3 = 130^\circ $

Так как вертикальные углы равны ($ \angle 1 = \angle 3 $ и $ \angle 2 = \angle 4 $), мы можем найти величину каждого угла: $ \angle 1 + \angle 1 = 130^\circ \implies 2\angle 1 = 130^\circ \implies \angle 1 = 65^\circ $ $ \angle 2 + \angle 2 = 230^\circ \implies 2\angle 2 = 230^\circ \implies \angle 2 = 115^\circ $

Отсюда получаем все четыре угла: $ \angle 1 = 65^\circ $ $ \angle 3 = \angle 1 = 65^\circ $ $ \angle 2 = 115^\circ $ $ \angle 4 = \angle 2 = 115^\circ $

Проверим наше решение. Сумма смежных углов: $ \angle 1 + \angle 2 = 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ $. Это верно. Сравним суммы пар вертикальных углов: $ (\angle 2 + \angle 4) - (\angle 1 + \angle 3) = (115^\circ + 115^\circ) - (65^\circ + 65^\circ) = 230^\circ - 130^\circ = 100^\circ $. Условие задачи выполнено.

Ответ: $ \angle 1 = 65^\circ, \angle 2 = 115^\circ, \angle 3 = 65^\circ, \angle 4 = 115^\circ $.