Номер 3, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

3. Найдите градусную меру угла 3, если:

а) $ \angle 1 = \angle 3 $, $ \angle 2 = 56^\circ $;

б) $ \angle 1 : \angle 2 : \angle 3 = 5 : 6 : 7 $;

в) $ \angle 3 - \angle 1 = \angle 2 $.

Поскольку углы 1, 2 и 3 вместе образуют развернутый угол, их сумма равна $180°$. Это основное свойство, которое будет использоваться для решения всех подпунктов задачи.

$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$

а) Дано, что $∠1 = ∠3$ и $∠2 = 56°$.

Подставим известные значения в основное уравнение:

$∠3 + 56° + ∠3 = 180°$

Приведем подобные слагаемые:

$2 \cdot ∠3 + 56° = 180°$

Выразим $2 \cdot ∠3$:

$2 \cdot ∠3 = 180° - 56°$

$2 \cdot ∠3 = 124°$

Найдем $∠3$:

$∠3 = \frac{124°}{2} = 62°$

Ответ: $62°$.

б) Дано отношение углов $∠1 : ∠2 : ∠3 = 5 : 6 : 7$.

Пусть $x$ – это градусная мера одной части в данном отношении. Тогда градусные меры углов можно выразить как:

$∠1 = 5x$

$∠2 = 6x$

$∠3 = 7x$

Сумма этих углов равна $180°$:

$5x + 6x + 7x = 180°$

Решим уравнение:

$18x = 180°$

$x = \frac{180°}{18} = 10°$

Теперь найдем градусную меру угла 3, подставив значение $x$:

$∠3 = 7x = 7 \cdot 10° = 70°$

Ответ: $70°$.

в) Дано, что $∠3 - ∠1 = ∠2$.

У нас есть система из двух уравнений:

1) $∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$

2) $∠3 - ∠1 = ∠2$

Подставим выражение для $∠2$ из второго уравнения в первое:

$∠1 + (∠3 - ∠1) + ∠3 = 180°$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$∠1 + ∠3 - ∠1 + ∠3 = 180°$

$(∠1 - ∠1) + (∠3 + ∠3) = 180°$

$2 \cdot ∠3 = 180°$

Найдем $∠3$:

$∠3 = \frac{180°}{2} = 90°$

Ответ: $90°$.