Задание 1, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Назовите все треугольники, изображенные на рисунке. Сколько всего треугольников получилось?

Назовите все треугольники, изображенные на рисунке.

Чтобы найти все треугольники, нужно последовательно перечислить все возможные комбинации вершин. Все треугольники имеют общую вершину $B$. Основания этих треугольников лежат на прямой $AC$.

• Треугольники, у которых основание состоит из одного отрезка: $△ABM$, $△BMK$, $△BKC$.
• Треугольники, у которых основание состоит из двух отрезков: $△ABK$ (основание $AK$) и $△BMC$ (основание $MC$).
• Треугольник, у которого основание состоит из трех отрезков: $△ABC$ (основание $AC$).

Таким образом, на рисунке изображены следующие треугольники: $△ABM$, $△BMK$, $△BKC$, $△ABK$, $△BMC$, $△ABC$.

Ответ: $△ABM$, $△BMK$, $△BKC$, $△ABK$, $△BMC$, $△ABC$.

Сколько всего треугольников получилось?

Для подсчета общего количества треугольников сложим количество треугольников, найденных на предыдущем шаге:

3 треугольника с основанием из одного отрезка + 2 треугольника с основанием из двух отрезков + 1 треугольник с основанием из трех отрезков.

Математически это можно записать так: $3 + 2 + 1 = 6$.

Другой способ подсчета — комбинаторный. Любой треугольник на рисунке определяется выбором двух точек на отрезке $AC$ (которые вместе с точкой $B$ образуют вершины). На отрезке $AC$ отмечено 4 точки: $A$, $M$, $K$, $C$. Количество способов выбрать 2 точки из 4 равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Всего на рисунке 6 треугольников.

Ответ: 6.