Номер 4, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

4. На рисунках а)—в) $OC \perp OE$. Найдите величину угла 1, если:

а) $\angle 2 + \angle 3 = 68^\circ$;

б) $\angle 2 : \angle 3 = 7 : 8$;

в) $\angle 2 + \angle 3 = 200^\circ$.

Во всех трех случаях основным условием является то, что лучи $OC$ и $OE$ перпендикулярны, то есть угол между ними равен $90^\circ$: $\angle COE = 90^\circ$. Также, если не указано иное, мы предполагаем, что прямые, обозначенные двумя буквами (например, $AB$), являются развернутыми углами ($180^\circ$).

а)

Дано:
На рисунке а) изображены две пересекающиеся прямые $AB$ и $ED$, и луч $OC$.
$\angle 2 = \angle AOE$
$\angle 3 = \angle BOD$
$\angle 1 = \angle BOC$
$OC \perp OE \implies \angle COE = 90^\circ$
$\angle 2 + \angle 3 = 68^\circ$
Найти: $\angle 1$

Решение:
1. Углы $\angle AOE$ ($\angle 2$) и $\angle BOD$ ($\angle 3$) являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AB$ и $ED$. Следовательно, они равны: $\angle 2 = \angle 3$.

2. Используя данное условие $\angle 2 + \angle 3 = 68^\circ$ и равенство $\angle 2 = \angle 3$, получаем:
$\angle 2 + \angle 2 = 68^\circ$
$2 \cdot \angle 2 = 68^\circ$
$\angle 2 = 34^\circ$.

3. Углы $\angle AOE$ ($\angle 2$) и $\angle EOB$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол $AOB$. Их сумма равна $180^\circ$:
$\angle AOE + \angle EOB = 180^\circ$
$\angle EOB = 180^\circ - \angle AOE = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ$.

4. Из рисунка видно, что угол $\angle EOB$ состоит из двух углов: $\angle COE$ и $\angle BOC$ ($\angle 1$).
$\angle EOB = \angle COE + \angle BOC$.
Мы знаем, что $\angle COE = 90^\circ$ и $\angle EOB = 146^\circ$. Подставляем эти значения в уравнение:
$146^\circ = 90^\circ + \angle 1$.

5. Находим $\angle 1$:
$\angle 1 = 146^\circ - 90^\circ = 56^\circ$.

Ответ: $56^\circ$.

б)

Дано:
На рисунке б) изображены две пересекающиеся прямые $AB$ и $ED$, и луч $OC$.
$\angle 1 = \angle AOE$
$\angle 2 = \angle COE$
$\angle 3 = \angle DOB$
$OC \perp OE \implies \angle COE = 90^\circ$
$\angle 2 : \angle 3 = 7 : 8$
Найти: $\angle 1$

Решение:
1. Из условия $OC \perp OE$ следует, что $\angle COE = 90^\circ$. Так как $\angle 2 = \angle COE$, то $\angle 2 = 90^\circ$.

2. Используя данное соотношение $\angle 2 : \angle 3 = 7 : 8$, подставляем известное значение $\angle 2$:
$90^\circ : \angle 3 = 7 : 8$
$\frac{90^\circ}{\angle 3} = \frac{7}{8}$.

3. Выражаем $\angle 3$ из пропорции:
$\angle 3 = \frac{90^\circ \cdot 8}{7} = \frac{720}{7}$ градуса.

4. Углы $\angle AOE$ ($\angle 1$) и $\angle DOB$ ($\angle 3$) являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AB$ и $ED$. Следовательно, они равны:
$\angle 1 = \angle 3$.

5. Таким образом, $\angle 1 = \frac{720}{7}^\circ$.

Ответ: $\frac{720}{7}^\circ$ (или $102 \frac{6}{7}^\circ$).

в)

Дано:
На рисунке в) изображены три пересекающиеся прямые $AB$, $CD$ и $EF$.
$\angle 1 = \angle AOC$
$\angle 2 = \angle EOB$
$\angle 3 = \angle AOD$
$OC \perp OE \implies \angle COE = 90^\circ$
$\angle 2 + \angle 3 = 200^\circ$
Найти: $\angle 1$

Решение:
1. Углы $\angle AOC$ ($\angle 1$) и $\angle AOD$ ($\angle 3$) являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $COD$. Их сумма равна $180^\circ$:
$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$.

2. Сумма всех шести углов, образованных пересечением трех прямых в одной точке, равна $360^\circ$. Эти углы попарно равны как вертикальные:
$\angle AOC = \angle BOD = \angle 1$
$\angle AOD = \angle BOC = \angle 3$
$\angle EOB = \angle FOA = \angle 2$
$\angle COE = \angle DOF = 90^\circ$ (так как $OC \perp OE$)
Исходя из взаимного расположения лучей, сумма всех этих углов вокруг точки $O$ может быть записана как $2\angle 1 + 2\angle 2 + 2\angle (\text{некоторый угол})$. Более надежный подход — составить систему уравнений.

3. Рассмотрим систему уравнений, основанную на свойствах углов и данных задачи:
1) $\angle 2 + \angle 3 = 200^\circ$ (дано)
2) $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$ (смежные углы)

4. Вычтем второе уравнение из первого:
$(\angle 2 + \angle 3) - (\angle 1 + \angle 3) = 200^\circ - 180^\circ$
$\angle 2 - \angle 1 = 20^\circ$.

5. Теперь используем условие $\angle COE = 90^\circ$. Угол $\angle COE$ можно выразить через другие углы. Сумма углов, составляющих полный оборот, равна $360^\circ$. Шесть углов, образованных прямыми $AB$, $CD$, $EF$, попарно равны как вертикальные. Сумма трех разных углов, по одному из каждой пары, равна $180^\circ$. Например, $\angle AOC + \angle COE + \angle EOA$ неверно. Рассмотрим сумму углов, образующих развернутый угол $AOB$: $\angle AOE + \angle EOB = 180^\circ$. Сумма углов $\angle AOC + \angle COE + \angle EOB$ не равна $180^\circ$. Однако, сумма шести элементарных углов, образованных тремя прямыми, равна $360^\circ$. Этими углами могут быть, например, $\angle AOC$, $\angle COE$, $\angle EOB$ и их вертикальные пары. Если предположить, что лучи $OC$ и $OE$ разделяют угол $\angle AOB$ и другие, то $2(\angle 1) + 2(\angle 2) + 2(\angle COE')$ (где $\angle COE'$ - третий угол) = $360^\circ$. Другой подход: $360^\circ$ - это сумма всех углов вокруг точки $O$. $2(\angle 1) + 2(\angle 3) + 2(\angle AOE) = 360$? Нет. Вернемся к системе. Нам нужно третье уравнение. Выразим $\angle COE=90^\circ$ через другие углы. Из расположения лучей на рисунке можно сделать вывод, что $\angle AOE = \angle COE + \angle COA = 90^\circ + \angle 1$ или $\angle COE = \angle AOE + \angle AOC$, или $\angle AOC = \angle AOE + \angle EOC$. Давайте рассмотрим все возможные комбинации, которые приводят к непротиворечивому результату. Одна из таких комбинаций (соответствующая расположению, где лучи $OA, OE, OC$ идут последовательно): $\angle AOC + \angle EOB + \angle COE' = 180^\circ$ где $\angle COE'$ это третий угол, не $\angle COE=90^\circ$. Давайте воспользуемся более простым соотношением, которое мы уже вывели: $\angle 2 - \angle 1 = 20^\circ$. Теперь найдем еще одно соотношение. Из рисунка видно, что углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ связаны через $\angle COE=90^\circ$. $\angle COE = \angle COA + \angle AOE = \angle 1 + \angle AOE$. А $\angle AOE$ и $\angle EOB (\angle 2)$ смежные, т.е. $\angle AOE = 180^\circ - \angle 2$. Тогда $90^\circ = \angle 1 + (180^\circ - \angle 2) \implies \angle 2 - \angle 1 = 90^\circ$. Это противоречит ранее найденному $\angle 2 - \angle 1 = 20^\circ$. Значит, расположение лучей иное. Попробуем $\angle COE = \angle AOE - \angle AOC$. $90^\circ = (180^\circ - \angle 2) - \angle 1 \implies \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$. Теперь у нас есть система: 1) $\angle 2 - \angle 1 = 20^\circ$ 2) $\angle 1 + \angle 2 = 90^\circ$

6. Сложим эти два уравнения:
$(\angle 2 - \angle 1) + (\angle 1 + \angle 2) = 20^\circ + 90^\circ$
$2 \cdot \angle 2 = 110^\circ$
$\angle 2 = 55^\circ$.

7. Подставим значение $\angle 2$ во второе уравнение: $\angle 1 + 55^\circ = 90^\circ$
$\angle 1 = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

8. Проверим, подставив найденные значения в исходные данные. $\angle 1 = 35^\circ$, $\angle 2 = 55^\circ$. Найдем $\angle 3$ из уравнения $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$: $35^\circ + \angle 3 = 180^\circ \implies \angle 3 = 145^\circ$. Проверим условие $\angle 2 + \angle 3 = 200^\circ$: $55^\circ + 145^\circ = 200^\circ$. Условие выполняется.

Ответ: $35^\circ$.