Номер 5, страница 54 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

По условию, $AB \perp AC$, что означает, что угол $\angle BAC = 90^\circ$. Также дано, что $AK$ — биссектриса угла $\angle BAD$, а $AM$ — биссектриса угла $\angle CAD$.

Из определения биссектрисы следует, что $\angle KAD = \frac{1}{2}\angle BAD$ и $\angle MAD = \frac{1}{2}\angle CAD$.

Искомый угол $\angle KAM$ состоит из двух углов, $\angle KAD$ и $\angle MAD$, так как луч $AD$ проходит между лучами $AK$ и $AM$ (согласно рисунку). Таким образом:

$\angle KAM = \angle KAD + \angle MAD$

Подставляя выражения для $\angle KAD$ и $\angle MAD$, получаем:

$\angle KAM = \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle CAD = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle CAD)$

Сумма углов $\angle BAD$ и $\angle CAD$ составляет угол $\angle BAC$, то есть $\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC = 90^\circ$.

Следовательно, мы можем найти $\angle KAM$:

$\angle KAM = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

По условию, $\angle BAC = 180^\circ$. Это означает, что лучи $AB$ и $AC$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, образуя развернутый угол.

Как и в предыдущем случае, $AK$ — биссектриса угла $\angle BAD$ и $AM$ — биссектриса угла $\angle CAD$. Отсюда:

$\angle KAD = \frac{1}{2}\angle BAD$ и $\angle MAD = \frac{1}{2}\angle CAD$.

Искомый угол $\angle KAM$ является суммой углов $\angle KAD$ и $\angle MAD$:

$\angle KAM = \angle KAD + \angle MAD = \frac{1}{2}(\angle BAD + \angle CAD)$

Углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ — смежные, их сумма равна углу $\angle BAC$, который является развернутым.

$\angle BAD + \angle CAD = \angle BAC = 180^\circ$

Подставляем это значение в формулу для $\angle KAM$:

$\angle KAM = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

По условию, $AK$ — биссектриса $\angle BAD$, а $AM$ — биссектриса $\angle CAD$. Введем следующие обозначения для удобства:

Пусть $\angle KAD = \angle BAK = x$. Из этого следует, что $\angle BAD = 2x$.

Пусть $\angle MAD = \angle CAM = y$. Из этого следует, что $\angle CAD = 2y$.

Искомый угол $\angle KAM$ складывается из углов $\angle KAD$ и $\angle MAD$:

$\angle KAM = \angle KAD + \angle MAD = x + y$.

Теперь выразим данные в условии углы $\angle BAM = 50^\circ$ и $\angle CAK = 40^\circ$ через переменные $x$ и $y$. Исходя из рисунка, лучи расположены в последовательности $AC, AM, AD, AK, AB$.

Угол $\angle BAM$ (угол между лучами $AB$ и $AM$) равен сумме углов $\angle BAK, \angle KAD, \angle DAM$:

$\angle BAM = \angle BAK + \angle KAD + \angle DAM = x + x + y = 2x + y$.

По условию $\angle BAM = 50^\circ$, следовательно, мы получаем первое уравнение: $2x + y = 50^\circ$.

Угол $\angle CAK$ (угол между лучами $AC$ и $AK$) равен сумме углов $\angle CAM, \angle MAD, \angle DAK$:

$\angle CAK = \angle CAM + \angle MAD + \angle DAK = y + y + x = x + 2y$.

По условию $\angle CAK = 40^\circ$, следовательно, мы получаем второе уравнение: $x + 2y = 40^\circ$.

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} 2x + y = 50^\circ \\ x + 2y = 40^\circ \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(2x + y) + (x + 2y) = 50^\circ + 40^\circ$

$3x + 3y = 90^\circ$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(x + y) = 90^\circ$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x + y = 30^\circ$

Так как мы ищем $\angle KAM = x + y$, то искомый угол равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.