Номер 54, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

54. На рисунке 107 четырехугольник $ABCD$ является объединением равнобедренного треугольника $ABD$ и равностороннего треугольника $BCD$. Внутри треугольников записаны их периметры. Найдите для каждого случая периметр четырехугольника $ABCD$.

а) В треугольнике $ABD$ периметр: 22. В треугольнике $BCD$ периметр: 30.

б) В треугольнике $ABD$ периметр: 42. В треугольнике $BCD$ периметр: 48.

в) В треугольнике $ABD$ периметр: 25. В треугольнике $BCD$ периметр: 15.

г) В треугольнике $ABD$ периметр: 31. В треугольнике $BCD$ периметр: 45.

Рис. 107

Для решения задачи во всех случаях воспользуемся общим подходом. Периметр четырехугольника $ABCD$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA$.

Периметр треугольника $ABD$ равен $P_{ABD} = AB + AD + BD$.

Периметр треугольника $BCD$ равен $P_{BCD} = BC + CD + BD$.

Если сложить периметры этих двух треугольников, мы получим: $P_{ABD} + P_{BCD} = (AB + AD + BD) + (BC + CD + BD) = (AB + BC + CD + DA) + 2 \cdot BD$.

Заметив, что выражение в скобках является периметром четырехугольника $ABCD$, получаем: $P_{ABD} + P_{BCD} = P_{ABCD} + 2 \cdot BD$.

Отсюда можно выразить искомую величину, периметр четырехугольника $ABCD$: $P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} - 2 \cdot BD$.

Для решения задачи в каждом случае нам нужно найти длину общей стороны $BD$. По условию, треугольник $BCD$ является равносторонним, а это значит, что все его стороны равны: $BC = CD = BD$. Следовательно, его периметр равен $P_{BCD} = 3 \cdot BD$. Отсюда мы можем найти $BD$.

а)

Дано: периметр равнобедренного треугольника $ABD$ равен $P_{ABD} = 22$, периметр равностороннего треугольника $BCD$ равен $P_{BCD} = 30$.

1. Найдем длину общей стороны $BD$. Так как $\triangle BCD$ — равносторонний, то $P_{BCD} = 3 \cdot BD$. $3 \cdot BD = 30$, откуда $BD = 10$.

2. Теперь найдем периметр четырехугольника $ABCD$ по выведенной ранее формуле: $P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} - 2 \cdot BD = 22 + 30 - 2 \cdot 10 = 52 - 20 = 32$.

Ответ: 32

б)

Дано: $P_{ABD} = 42$, $P_{BCD} = 48$.

1. Найдем длину стороны $BD$ из периметра равностороннего $\triangle BCD$: $P_{BCD} = 3 \cdot BD = 48$, откуда $BD = 48 / 3 = 16$.

2. Рассчитаем периметр четырехугольника $ABCD$: $P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} - 2 \cdot BD = 42 + 48 - 2 \cdot 16 = 90 - 32 = 58$.

Ответ: 58

в)

Дано: $P_{ABD} = 25$, $P_{BCD} = 15$.

1. Найдем длину стороны $BD$ из периметра равностороннего $\triangle BCD$: $P_{BCD} = 3 \cdot BD = 15$, откуда $BD = 15 / 3 = 5$.

2. Рассчитаем периметр четырехугольника $ABCD$: $P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} - 2 \cdot BD = 25 + 15 - 2 \cdot 5 = 40 - 10 = 30$.

Ответ: 30

г)

Дано: $P_{ABD} = 31$, $P_{BCD} = 45$.

1. Найдем длину стороны $BD$ из периметра равностороннего $\triangle BCD$: $P_{BCD} = 3 \cdot BD = 45$, откуда $BD = 45 / 3 = 15$.

2. Рассчитаем периметр четырехугольника $ABCD$: $P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} - 2 \cdot BD = 31 + 45 - 2 \cdot 15 = 76 - 30 = 46$.

Ответ: 46