Моделирование, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

а) Перегните прямоугольный лист бумаги так, чтобы совпали края листа. Распрямите лист (рис. 99). Объясните, почему линия перегиба перпендикулярна краю листа.

б) На листе бумаги изображена прямая $a$ и точка $A$ (рис. 100). Используя только перегибание листа бумаги, получите перпендикуляр из данной точки к данной прямой.

Предлагается следующее решение:

1) перегибаем лист по прямой $a$ так, чтобы точка $A$ была видимой;

2) прокалываем обе сложенные части через точку $A$ и получаем на другой части листа точку $B$;

3) распрямляем лист;

4) складываем лист по прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Объясните, почему $AB \perp a$.

Предложите свой способ, связанный с пунктом а).

Рис. 99

Рис. 100

а)

Край листа представляет собой прямую линию, то есть развернутый угол, равный $180^\circ$. Когда мы перегибаем лист так, чтобы края совпали, линия перегиба делит этот развернутый угол на два смежных угла. Поскольку при перегибе одна часть края полностью совмещается с другой, эти два смежных угла равны между собой. Пусть величина каждого из этих углов равна $\alpha$. Тогда их сумма равна развернутому углу:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

$\alpha = 90^\circ$

Угол, равный $90^\circ$, является прямым. По определению, если угол между двумя прямыми равен $90^\circ$, то эти прямые перпендикулярны. Следовательно, линия перегиба перпендикулярна краю листа.

Ответ: Линия перегиба перпендикулярна краю листа, так как она делит развернутый угол края листа ($180^\circ$) на два равных смежных угла, каждый из которых равен $90^\circ$.

б)

Объяснение, почему $AB \perp a$:

Когда мы перегибаем лист по прямой a, мы выполняем операцию осевой симметрии (отражения) относительно прямой a. Точка B, полученная прокалыванием сложенного листа через точку A, является образом точки A при этой симметрии.

По определению осевой симметрии, ось симметрии (в данном случае прямая a) является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему любую точку (A) с её образом (B). Это означает, что прямая a перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину. Следовательно, $AB \perp a$.

Ответ: Прямая AB перпендикулярна прямой a, так как точка B является симметричным отражением точки A относительно прямой a. По определению осевой симметрии, прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB, что означает $AB \perp a$.

Свой способ, связанный с пунктом а):

В пункте а) мы установили, что если согнуть лист так, чтобы прямая (край листа) совместилась сама с собой, то линия сгиба будет перпендикулярна этой прямой. Этот же принцип можно применить и к прямой a.

1. Перегнуть лист бумаги так, чтобы часть прямой a, расположенная с одной стороны от предполагаемого перпендикуляра, совпала с частью прямой a, расположенной с другой стороны. То есть нужно добиться, чтобы прямая a "легла" сама на себя.
2. Не расправляя лист, нужно смещать получившийся сгиб (сохраняя совмещение прямой a с самой собой) до тех пор, пока линия сгиба не пройдет через точку A.
3. Аккуратно прогладить сгиб. Эта линия сгиба и будет искомым перпендикуляром, проведенным из точки A к прямой a.

Ответ: Нужно перегнуть лист так, чтобы прямая a совместилась сама с собой, а линия сгиба прошла через точку A. Эта линия сгиба и будет искомым перпендикуляром.