Номер 48, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

48. На рисунке 95 $AB \perp AK$, $\angle 2 : \angle 1 = 7 : 9$, $AM$ — биссектриса угла $BAK$. Найдите угол $MAC$.

Рис. 95

По условию задачи дано, что $AB \perp AK$. Это означает, что угол $BAK$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

$\angle BAK = 90^\circ$.

Также в условии сказано, что $AM$ — биссектриса угла $BAK$. Биссектриса делит угол пополам. Следовательно, она делит угол $BAK$ на два равных угла: $\angle BAM$ и $\angle MAK$.

$\angle BAM = \angle MAK = \frac{\angle BAK}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Из рисунка видно, что $\angle 1$ это и есть угол $\angle BAM$. Таким образом, $\angle 1 = 45^\circ$.

Далее, используем данное в условии соотношение между $\angle 2$ и $\angle 1$:

$\angle 2 : \angle 1 = 7 : 9$.

Из рисунка видно, что $\angle 2$ — это угол $\angle KAC$. Подставим известное значение $\angle 1$ в пропорцию и найдем величину $\angle KAC$:

$\frac{\angle KAC}{\angle 1} = \frac{7}{9}$
$\frac{\angle KAC}{45^\circ} = \frac{7}{9}$
$\angle KAC = \frac{7}{9} \cdot 45^\circ = 7 \cdot 5^\circ = 35^\circ$.

Чтобы найти угол $MAC$, нужно сложить углы $MAK$ и $KAC$, так как луч $AK$ проходит между сторонами угла $MAC$.

$\angle MAC = \angle MAK + \angle KAC$.

Подставим найденные значения углов:

$\angle MAC = 45^\circ + 35^\circ = 80^\circ$.

Ответ: $80^\circ$.