Номер 47, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

47. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны. Через точку их пересечения проведена прямая $c$. Определите число получившихся при этом тупых углов.

По условию, прямые $a$ и $b$ перпендикулярны. Это означает, что при их пересечении образуются четыре прямых угла, каждый из которых равен $90^\circ$.

Через точку пересечения этих прямых проведена третья прямая $c$. Рассмотрим общий случай, когда прямая $c$ не совпадает ни с прямой $a$, ни с прямой $b$.

Прямая $c$, проходя через точку пересечения, делит каждый из четырех прямых углов. Возьмем один из прямых углов. Прямая $c$ разделит его на два острых угла. Обозначим их градусные меры как $\alpha$ и $\beta$. Поскольку вместе они составляют прямой угол, их сумма равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$, где $\alpha > 0$ и $\beta > 0$.

Вертикальный этому прямому углу также будет разделен прямой $c$ на два острых угла, равных $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, у нас есть 4 острых угла (две пары вертикальных).

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Такие углы образуются при сложении одного из смежных прямых углов с одним из новых острых углов.

Угол, смежный с углом $\alpha$ (и составленный из луча прямой $c$ и луча прямой $a$), будет состоять из смежного прямого угла и острого угла $\beta$. Его величина будет $90^\circ + \beta$. Так как $0^\circ < \beta < 90^\circ$, то $90^\circ < 90^\circ + \beta < 180^\circ$. Следовательно, этот угол является тупым.

Аналогично, угол, смежный с углом $\beta$, будет равен $90^\circ + \alpha$, что также является тупым углом.

Каждый из этих двух тупых углов имеет вертикальный ему угол, который также является тупым. Угол, вертикальный углу $90^\circ + \beta$, также равен $90^\circ + \beta$. Угол, вертикальный углу $90^\circ + \alpha$, также равен $90^\circ + \alpha$.

В результате образуются две пары вертикальных тупых углов. Общее число тупых углов равно 4.

Примечание: если рассмотреть частный случай, когда прямая $c$ совпадает с одной из исходных прямых ($a$ или $b$), то новых углов не образуется, и все углы остаются прямыми ($90^\circ$), а значит, тупых углов нет (их число равно 0). Однако, как правило, в таких задачах имеется в виду общий случай, когда все три прямые различны.

Ответ: 4