Моделирование, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

Вырежьте из бумаги угол, равный $40^\circ$. При помощи перегибания бумаги получите угол, равный: а) $10^\circ$; б) $30^\circ$; в) $140^\circ$; г) $35^\circ$.

Исследуйте, какие углы, измеряющиеся целым числом градусов, можно получить из данного угла путем складывания.

Для решения этой задачи мы будем использовать две основные операции, которые можно выполнить путем перегибания бумаги:

• Деление угла пополам (построение биссектрисы): Сложив лист так, чтобы стороны угла совпали, мы делим угол на два равных угла.
• Сложение и вычитание углов: Мы можем прикладывать углы друг к другу, чтобы получить их сумму, или накладывать один угол на другой, чтобы найти их разность.

Также мы можем использовать прямой край бумаги, который представляет собой развернутый угол в $180^\circ$. Сложив прямой край пополам, мы получаем прямой угол $90^\circ$. Исходный угол равен $40^\circ$.

а) 10°

Чтобы получить угол в $10^\circ$, мы можем дважды разделить исходный угол $40^\circ$ пополам.

1. Сначала сложим бумажный угол $40^\circ$ пополам, совместив его стороны. Линия сгиба будет биссектрисой, которая делит угол на два равных угла. Величина каждого из этих углов будет равна $40^\circ / 2 = 20^\circ$.
2. Теперь возьмем полученный угол в $20^\circ$ и снова сложим его пополам. В результате мы получим угол, равный $20^\circ / 2 = 10^\circ$.

Математически это выглядит так: $\frac{40^\circ}{2 \cdot 2} = 10^\circ$.

Ответ: Угол $10^\circ$ можно получить, дважды сложив пополам исходный угол $40^\circ$.

б) 30°

Чтобы получить угол в $30^\circ$, мы можем скомбинировать уже имеющиеся у нас углы. Например, вычесть угол $10^\circ$ из угла $40^\circ$.

1. Сначала получим угол $10^\circ$, как описано в пункте а).
2. Теперь возьмем исходный угол $40^\circ$ и наложим на него полученный угол $10^\circ$ так, чтобы их вершины и одна из сторон совпали.
3. Часть угла $40^\circ$, которая не перекрыта углом $10^\circ$, и будет искомым углом. Его величина равна разности их мер: $40^\circ - 10^\circ = 30^\circ$.

Другой способ — сложить углы $20^\circ$ и $10^\circ$, которые мы также умеем получать.

Ответ: Угол $30^\circ$ можно получить, вычтя из исходного угла $40^\circ$ угол $10^\circ$ (полученный двукратным делением пополам).

в) 140°

Для получения угла в $140^\circ$ мы можем использовать развернутый угол, который равен $180^\circ$. Любой прямой край листа бумаги является моделью развернутого угла.

1. Возьмем прямой край листа бумаги. Это угол в $180^\circ$.
2. Приложим наш исходный угол $40^\circ$ к этому краю так, чтобы вершина угла лежала на краю, а одна из его сторон совпадала с краем листа.
3. Угол, который дополняет наш угол до развернутого (смежный угол), и будет искомым углом. Его величина равна $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Ответ: Угол $140^\circ$ можно получить как смежный угол к исходному углу $40^\circ$, отложенному от прямого края бумаги ($180^\circ$).

г) 35°

Для получения угла в $35^\circ$ нам понадобится угол в $5^\circ$, который мы затем можем вычесть из исходного угла в $40^\circ$.

1. Начнем с исходного угла $40^\circ$. Сложим его пополам, чтобы получить угол $20^\circ$.
2. Сложим угол $20^\circ$ пополам, чтобы получить угол $10^\circ$.
3. Наконец, сложим угол $10^\circ$ пополам, чтобы получить угол $5^\circ$.
4. Теперь вычтем полученный угол $5^\circ$ из исходного угла $40^\circ$ (аналогично тому, как мы делали в пункте б)). В результате получим: $40^\circ - 5^\circ = 35^\circ$.

Ответ: Угол $35^\circ$ можно получить, вычтя из исходного угла $40^\circ$ угол $5^\circ$ (полученный трехкратным делением пополам исходного угла).

Исследуйте, какие углы, измеряющиеся целым числом градусов, можно получить из данного угла путем складывания.

Все углы, которые мы можем получить, строятся на основе двух начальных углов — данного $40^\circ$ и развернутого $180^\circ$ — и трех операций: сложения, вычитания и деления пополам.

Любой получаемый угол $\alpha$ можно представить в виде формулы: $\alpha = \frac{k \cdot 40^\circ + l \cdot 180^\circ}{2^n}$, где $k$ и $l$ — целые числа (соответствующие сложению и вычитанию), а $n$ — натуральное число (соответствующее делению пополам).

Вынесем общий множитель $20$ за скобки: $\alpha = \frac{20^\circ \cdot (2k + 9l)}{2^n}$

Нас интересуют углы, измеряющиеся целым числом градусов. Пусть $\alpha = I$, где $I$ — целое число. $I = \frac{20 \cdot (2k + 9l)}{2^n} = \frac{4 \cdot 5 \cdot (2k + 9l)}{2^n} = \frac{5 \cdot (2k + 9l)}{2^{n-2}}$

Перепишем это уравнение: $I \cdot 2^{n-2} = 5 \cdot (2k + 9l)$.

В левой части уравнения стоит произведение целого числа $I$ и степени двойки. В правой части — произведение пятерки и целого числа $(2k + 9l)$. Это означает, что правая часть всегда делится на 5. Следовательно, и левая часть $I \cdot 2^{n-2}$ должна делиться на 5. Так как $2^{n-2}$ не делится на 5, то на 5 должно делиться само число $I$.

Таким образом, любой угол с целой градусной мерой, который можно получить таким способом, должен быть кратен 5.

Теперь докажем, что любой угол, кратный 5, можно получить. Для этого достаточно показать, что мы можем получить угол в $5^\circ$. Если мы его получим, то, складывая его с самим собой нужное количество раз, мы сможем получить любой угол, кратный 5 (например, $15^\circ = 5^\circ + 5^\circ + 5^\circ$).

Как мы показали в пункте г), угол $5^\circ$ можно получить, трижды разделив угол $40^\circ$ пополам: $40^\circ \to 20^\circ \to 10^\circ \to 5^\circ$.

Следовательно, мы можем построить угол $5^\circ$, а значит, и любой угол, градусная мера которого кратна 5.

Ответ: Путем складывания из данного угла $40^\circ$ можно получить любые углы, градусная мера которых является целым числом, кратным 5.