Номер 44, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

44*. Через одну точку на плоскости проходят четыре прямые, которые делят плоскость на 8 углов, три из которых относятся как $1:2:3$, а один из углов равен сумме трех указанных. Найдите каждый угол.

Четыре прямые, проходящие через одну точку, делят плоскость на 8 углов. Эти 8 углов состоят из 4 пар равных между собой вертикальных углов. Таким образом, у нас есть 4 уникальных угла, которые последовательно расположены вокруг точки. Сумма этих четырех смежных углов, образующих развернутый угол (полуплоскость), равна $180^\circ$.

Пусть $x$ — градусная мера одной части. Согласно условию, три из этих четырех уникальных углов относятся как $1:2:3$. Значит, их величины можно записать как $x$, $2x$ и $3x$.

Также по условию, один из углов равен сумме трех указанных. Этот угол не может быть одним из $x$, $2x$ или $3x$, так как, например, $3x \neq x + 2x + 3x$. Следовательно, это четвертый уникальный угол. Найдем его величину:

Четвертый угол = $x + 2x + 3x = 6x$.

Теперь у нас есть четыре последовательных угла: $x$, $2x$, $3x$ и $6x$. Их сумма равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 2x + 3x + 6x = 180^\circ$

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12}$

$x = 15^\circ$

Теперь, зная значение $x$, найдем величину каждого из четырех уникальных углов:

• Первый угол: $x = 15^\circ$
• Второй угол: $2x = 2 \cdot 15^\circ = 30^\circ$
• Третий угол: $3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$
• Четвертый угол: $6x = 6 \cdot 15^\circ = 90^\circ$

Всего на плоскости образуется 8 углов, которые являются 4 парами вертикальных углов. Таким образом, у нас есть по два угла каждой из найденных величин.

Ответ: восемь углов, образованных прямыми, равны: $15^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$, $15^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$.