Номер 39, страница 45 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

39. Известно, что $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 900^{\circ}$ (рис. 84). Найдите угол $\varphi$ (фи).

Рис. 84

Рассмотрим геометрическую фигуру, представленную на рисунке. Мы видим две горизонтальные линии (красную и синюю) и одну пересекающую их наклонную линию (зеленую). Углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\phi$ образованы в точках пересечения этих линий.

Из рисунка можно установить следующие соотношения между углами:

1. Углы $\beta$ и $\gamma$ являются смежными, они лежат на одной прямой (красной линии). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\beta + \gamma = 180^\circ$.
2. Аналогично, углы $\alpha$ и $\phi$ являются смежными, они лежат на одной прямой (синей линии, основании треугольника). Следовательно, $\alpha + \phi = 180^\circ$.

Визуально красная и синяя линии параллельны. В задачах такого типа, если не указано иное, такое предположение является стандартным. Примем, что красная линия параллельна синей. В этом случае зеленая линия является секущей, и мы можем использовать свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

• Внутренние накрест лежащие углы равны. Парами таких углов являются ($\alpha$, $\gamma$) и ($\beta$, $\phi$). Таким образом, мы получаем еще два соотношения: $\alpha = \gamma$ и $\beta = \phi$.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 900^\circ$ (дано по условию)
2. $\beta + \gamma = 180^\circ$
3. $\alpha + \phi = 180^\circ$
4. $\alpha = \gamma$
5. $\beta = \phi$

Наша цель — найти угол $\phi$. Для этого выразим все углы через $\phi$ и подставим в исходное уравнение.

Из соотношения (5) мы знаем, что $\beta = \phi$.
Из соотношения (3) выразим $\alpha$: $\alpha = 180^\circ - \phi$.
Из соотношения (4) следует, что $\gamma = \alpha$, поэтому $\gamma = 180^\circ - \phi$.

Теперь подставим выражения для $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ в данное уравнение $2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 900^\circ$:

$2(180^\circ - \phi) + 3\phi + 4(180^\circ - \phi) = 900^\circ$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\phi$:

$360^\circ - 2\phi + 3\phi + 720^\circ - 4\phi = 900^\circ$

Сгруппируем слагаемые:

$(360^\circ + 720^\circ) + (-2\phi + 3\phi - 4\phi) = 900^\circ$

$1080^\circ - 3\phi = 900^\circ$

Перенесем числа в одну сторону, а слагаемые с $\phi$ в другую:

$1080^\circ - 900^\circ = 3\phi$

$180^\circ = 3\phi$

$\phi = \frac{180^\circ}{3}$

$\phi = 60^\circ$

Проверим, что найденное значение удовлетворяет и другим соотношениям. Если $\phi = 60^\circ$, то $\beta = 60^\circ$, $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$, $\gamma = 120^\circ$.
$\beta + \gamma = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Верно.
$2\alpha + 3\beta + 4\gamma = 2(120^\circ) + 3(60^\circ) + 4(120^\circ) = 240^\circ + 180^\circ + 480^\circ = 900^\circ$. Верно.

Ответ: $\phi = 60^\circ$