Номер 50, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

50*. Сумма углов $AOD$ и $BOC$ равна $180^\circ$, $OK$ — биссектриса угла $AOC$, $OE$ — биссектриса угла $BOD$ (рис. 97). Докажите, что $OK \perp OE$.

Рис. 97

Для доказательства воспользуемся свойством углов вокруг общей вершины. Пусть лучи $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ выходят из точки $O$ и расположены последовательно (например, против часовой стрелки), образуя полный угол в $360^\circ$.

Сумма углов между последовательными лучами вокруг точки $O$ равна $360^\circ$:
$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ$.

По условию задачи, сумма углов $AOD$ и $BOC$ равна $180^\circ$. Угол $AOD$ — это то же самое, что и угол $DOA$. Таким образом, мы имеем:
$\angle DOA + \angle BOC = 180^\circ$.

Подставим это условие в равенство для полного угла:
$(\angle DOA + \angle BOC) + (\angle AOB + \angle COD) = 360^\circ$
$180^\circ + \angle AOB + \angle COD = 360^\circ$

Из этого следует, что сумма двух других углов также равна $180^\circ$:
$\angle AOB + \angle COD = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Теперь найдем величину угла $\angle KOE$. Мы можем выразить его через углы, которые образуют лучи $OK$ и $OE$ с некоторым общим лучом, например, с лучом $OA$.

Луч $OK$ является биссектрисой угла $\angle AOC$. Угол $\angle AOC$ состоит из суммы углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Следовательно, угол $\angle AOK$ равен половине угла $\angle AOC$:
$\angle AOK = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle BOC)$.

Луч $OE$ является биссектрисой угла $\angle BOD$. Угол $\angle BOD$ состоит из суммы углов $\angle BOC$ и $\angle COD$. Угол $\angle AOE$ (отсчитываемый от луча $OA$) можно найти как сумму углов $\angle AOB$ и $\angle BOE$. Угол $\angle BOE$ равен половине угла $\angle BOD$:
$\angle BOE = \frac{1}{2} \angle BOD = \frac{1}{2}(\angle BOC + \angle COD)$.
Таким образом, $\angle AOE = \angle AOB + \angle BOE = \angle AOB + \frac{1}{2}(\angle BOC + \angle COD)$.

Искомый угол $\angle KOE$ равен разности углов $\angle AOE$ и $\angle AOK$ (так как луч $OK$ находится между лучами $OA$ и $OE$ в данной конфигурации):
$\angle KOE = \angle AOE - \angle AOK$
$\angle KOE = \left( \angle AOB + \frac{1}{2}(\angle BOC + \angle COD) \right) - \left( \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle BOC) \right)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$\angle KOE = \angle AOB + \frac{1}{2}\angle BOC + \frac{1}{2}\angle COD - \frac{1}{2}\angle AOB - \frac{1}{2}\angle BOC$
$\angle KOE = (\angle AOB - \frac{1}{2}\angle AOB) + (\frac{1}{2}\angle BOC - \frac{1}{2}\angle BOC) + \frac{1}{2}\angle COD$
$\angle KOE = \frac{1}{2}\angle AOB + \frac{1}{2}\angle COD$
$\angle KOE = \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle COD)$

Ранее мы установили, что $\angle AOB + \angle COD = 180^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение для $\angle KOE$:
$\angle KOE = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Так как угол между лучами $OK$ и $OE$ равен $90^\circ$, то эти лучи перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать, $OK \perp OE$.