Номер 67, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

67. Дан четырехугольник $ABCD$, у которого $AB = 9$ см, $AD = 12$ см, $\angle ABD = \angle CDB$, $\angle ADB = \angle CBD$. Найдите периметр этого четырехугольника.

Для решения задачи рассмотрим четырехугольник $ABCD$, который диагональ $BD$ делит на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

Сравним эти два треугольника, используя данные из условия:

• $\angle ABD = \angle CDB$ (по условию);
• $\angle ADB = \angle CBD$ (по условию);
• $BD$ — общая сторона.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). То есть, $\triangle ABD \cong \triangle CDB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон:

• Сторона $AB$ из $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ADB$. Сторона $CD$ из $\triangle CDB$ лежит напротив угла $\angle CBD$. Так как $\angle ADB = \angle CBD$, то и стороны, лежащие напротив них, равны: $AB = CD$.
• Сторона $AD$ из $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ABD$. Сторона $BC$ из $\triangle CDB$ лежит напротив угла $\angle CDB$. Так как $\angle ABD = \angle CDB$, то и стороны, лежащие напротив них, равны: $AD = BC$.

По условию задачи нам известны длины сторон $AB$ и $AD$:

$AB = 9$ см

$AD = 12$ см

Используя полученные равенства, находим длины двух других сторон четырехугольника:

$CD = AB = 9$ см

$BC = AD = 12$ см

Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его сторон. Найдем периметр $P_{ABCD}$:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$

Подставим известные значения:

$P_{ABCD} = 9 \text{ см} + 12 \text{ см} + 9 \text{ см} + 12 \text{ см} = 2 \times (9 \text{ см} + 12 \text{ см}) = 2 \times 21 \text{ см} = 42 \text{ см}$.

Ответ: 42 см.