Номер 72, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

72*. На сторонах угла $A$ отложены равные отрезки $AB$ и $AC$.
На отрезке $AB$ взята точка $M$, на отрезке $AC$ — точка $K$ так, что $\angle ABK = \angle ACM$. Отрезки $BK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\triangle MOB = \triangle KOC$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle MOB$ и $\triangle KOC$ сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACM$.

В этих треугольниках: $\angle A$ — общий, $AB = AC$ по условию, $\angle ABK = \angle ACM$ по условию. Следовательно, $\triangle ABK = \triangle ACM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle ACM$ следует равенство их соответствующих элементов: $AK = AM$ и $\angle AKB = \angle AMC$.

Теперь сравним отрезки $MB$ и $KC$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то $MB = AB - AM$. Аналогично, точка $K$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $KC = AC - AK$. Так как $AB = AC$ (из условия) и $AM = AK$ (из доказанного выше), то $MB = KC$.

Рассмотрим целевые треугольники $\triangle MOB$ и $\triangle KOC$. Мы установили, что у них равны стороны $MB$ и $KC$. Также, по условию, $\angle MBO = \angle KCO$ (это те же углы, что $\angle ABK$ и $\angle ACM$).

Найдем углы $\angle BMO$ и $\angle CKO$. Угол $\angle BMO$ является смежным с углом $\angle AMC$, поэтому $\angle BMO = 180^\circ - \angle AMC$. Угол $\angle CKO$ является смежным с углом $\angle AKB$, поэтому $\angle CKO = 180^\circ - \angle AKB$. Поскольку ранее мы доказали, что $\angle AMC = \angle AKB$, то и смежные с ними углы равны: $\angle BMO = \angle CKO$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle MOB$ и $\triangle KOC$ сторона и два прилежащих к ней угла соответственно равны: $MB = KC$, $\angle MBO = \angle KCO$ и $\angle BMO = \angle CKO$.

Следовательно, $\triangle MOB = \triangle KOC$ по второму признаку равенства треугольников. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle MOB$ и $\triangle KOC$ доказано.