Номер 74, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

74*. На координатной плоскости постройте $\Delta AOB$ и $\Delta A_1OB_1$, где $A(5; 1)$, $B(2; 6)$, $A_1(-5; -1)$, $B_1(-2; -6)$. Докажите, что $\Delta AOB = \Delta A_1OB_1$.

Для решения задачи сначала построим треугольники на координатной плоскости, а затем докажем их равенство. Точка O является началом координат, ее координаты (0; 0).

На координатной плоскости постройте $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$
1. На координатной плоскости отмечаем точку O в начале координат (0; 0).
2. Отмечаем точку A с координатами (5; 1) и точку B с координатами (2; 6).
3. Соединяем точки O, A и B отрезками, чтобы получить треугольник $\triangle AOB$.
4. Аналогично отмечаем точки A₁(-5; -1) и B₁(-2; -6).
5. Соединяем точки O, A₁ и B₁, чтобы получить треугольник $\triangle A_1OB_1$.

Докажите, что $\triangle AOB = \triangle A_1OB_1$
Для доказательства равенства треугольников воспользуемся третьим признаком равенства треугольников (по трем сторонам). Для этого найдем длины сторон каждого треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длины сторон треугольника AOB.
- Длина стороны OA (расстояние между O(0; 0) и A(5; 1)):
$OA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
- Длина стороны OB (расстояние между O(0; 0) и B(2; 6)):
$OB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
- Длина стороны AB (расстояние между A(5; 1) и B(2; 6)):
$AB = \sqrt{(2 - 5)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

2. Найдем длины сторон треугольника A₁OB₁.
- Длина стороны OA₁ (расстояние между O(0; 0) и A₁(-5; -1)):
$OA_1 = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
- Длина стороны OB₁ (расстояние между O(0; 0) и B₁(-2; -6)):
$OB_1 = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.
- Длина стороны A₁B₁ (расстояние между A₁(-5; -1) и B₁(-2; -6)):
$A_1B_1 = \sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-2 + 5)^2 + (-6 + 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

3. Сравним длины соответствующих сторон.
- $OA = \sqrt{26}$ и $OA_1 = \sqrt{26}$, следовательно, $OA = OA_1$.
- $OB = \sqrt{40}$ и $OB_1 = \sqrt{40}$, следовательно, $OB = OB_1$.
- $AB = \sqrt{34}$ и $A_1B_1 = \sqrt{34}$, следовательно, $AB = A_1B_1$.

Так как три стороны треугольника AOB соответственно равны трем сторонам треугольника A₁OB₁, то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $\triangle AOB = \triangle A_1OB_1$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$ доказано, так как их соответствующие стороны равны: $OA = OA_1 = \sqrt{26}$, $OB = OB_1 = \sqrt{40}$ и $AB = A_1B_1 = \sqrt{34}$.