Номер 78, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

78. В треугольнике $ABC$ высота $AM$ делит сторону $BC$ пополам. Докажите, что отрезок $AM$ является биссектрисой треугольника $ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$.

По условию задачи, $AM$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что отрезок $AM$ перпендикулярен стороне $BC$ ($AM \perp BC$), и, следовательно, углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются прямыми, то есть $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$.

Также по условию, высота $AM$ делит сторону $BC$ пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$, и, следовательно, отрезки $BM$ и $MC$ равны: $BM = MC$.

Сравним треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. Сторона $AM$ — общая для обоих треугольников.

2. Стороны $BM = MC$ по условию.

3. Углы между этими сторонами равны: $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $\triangle AMB$ равен треугольнику $\triangle AMC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Углы $\angle BAM$ и $\angle CAM$ являются соответствующими углами, так как они лежат напротив равных сторон $BM$ и $MC$ соответственно. Значит, $\angle BAM = \angle CAM$.

Так как отрезок $AM$ делит угол $BAC$ на два равных угла ($\angle BAM = \angle CAM$), то, по определению, $AM$ является биссектрисой угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.