Моделирование, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

Моделирование

Из листа бумги вырежьте три остроугольных неравнобедренных треугольника. Используя только перегибание листа бумаги, найдите точку пересечения:

1) высот первого треугольника;

2) медиан второго треугольника;

3) биссектрис третьего треугольника.

Обоснуйте математически выполнение каждого задания.

Для решения задачи вырежьте из бумаги три остроугольных неравнобедренных треугольника. Последовательно выполните для каждого из них следующие действия, используя только перегибание.

1) высот первого треугольника;

Для нахождения точки пересечения высот (ортоцентра) на первом треугольнике с вершинами, обозначенными $A$, $B$ и $C$, выполните следующие шаги:

1. Чтобы построить высоту из вершины $A$ на сторону $BC$, необходимо перегнуть лист бумаги так, чтобы прямая, содержащая сторону $BC$, наложилась сама на себя, а линия сгиба при этом прошла точно через вершину $A$. Сделайте четкий сгиб. Эта линия является высотой $h_a$.
2. Аналогично постройте высоту из вершины $B$ на сторону $AC$. Для этого согните лист так, чтобы сторона $AC$ (и содержащая ее прямая) совместилась сама с собой, а сгиб прошел через вершину $B$. Полученная линия сгиба — высота $h_b$.
3. Точка, в которой пересеклись два построенных сгиба ($h_a$ и $h_b$), и есть точка пересечения высот треугольника — его ортоцентр. Можно для проверки построить третью высоту из вершины $C$ на сторону $AB$, которая должна пройти через эту же точку.

Математическое обоснование: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Когда мы перегибаем лист так, что некоторая прямая на нем совмещается сама с собой, линия сгиба перпендикулярна этой прямой. Обеспечивая прохождение линии сгиба через нужную вершину, мы строим высоту. В любом треугольнике три его высоты пересекаются в одной точке.

Ответ: Точка, в которой пересекаются линии сгибов, построенные как перпендикуляры из вершин на противоположные стороны, является искомой точкой пересечения высот (ортоцентром).

2) медиан второго треугольника;

Для нахождения точки пересечения медиан (центроида) на втором треугольнике с вершинами $A$, $B$ и $C$, выполните следующие шаги:

1. Чтобы построить медиану из вершины $A$, сначала найдите середину противоположной стороны $BC$. Для этого совместите вершины $B$ и $C$ путем сгибания листа. Точка, в которой сгиб пересечет сторону $BC$, является ее серединой. Обозначим эту точку $M_a$.
2. Теперь сделайте новый сгиб, который пройдет одновременно через вершину $A$ и найденную точку $M_a$. Этот сгиб содержит медиану $m_a$.
3. Повторите процедуру для построения второй медианы, например, из вершины $B$ к стороне $AC$. Найдите середину $M_b$ стороны $AC$ (совместив вершины $A$ и $C$), а затем проведите сгиб через точки $B$ и $M_b$. Этот сгиб содержит медиану $m_b$.
4. Точка пересечения двух сгибов-медиан ($m_a$ и $m_b$) и есть искомая точка.

Математическое обоснование: Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Совмещение двух вершин отрезка ($B$ и $C$) позволяет найти его середину, так как линия сгиба является серединным перпендикуляром. Последующий сгиб, проходящий через вершину и середину противоположной стороны, по определению является медианой. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом.

Ответ: Точка, в которой пересекаются линии сгибов, соединяющие вершины с серединами противоположных сторон, является искомой точкой пересечения медиан (центроидом).

3) биссектрис третьего треугольника.

Для нахождения точки пересечения биссектрис (инцентра) на третьем треугольнике с вершинами $A$, $B$ и $C$, выполните следующие шаги:

1. Чтобы построить биссектрису угла при вершине $A$, нужно согнуть лист бумаги так, чтобы сторона $AB$ (как луч) точно наложилась на сторону $AC$. Сделайте четкий сгиб, выходящий из вершины $A$. Эта линия сгиба — биссектриса угла $A$.
2. Аналогично постройте биссектрису угла при вершине $B$, совместив сгибанием сторону $BA$ со стороной $BC$.
3. Точка пересечения двух построенных биссектрис и является точкой пересечения всех трех биссектрис треугольника — его инцентром.

Математическое обоснование: Биссектриса делит угол пополам. Когда мы сгибаем угол так, что его стороны совпадают, линия сгиба является осью симметрии этого угла. По свойству симметрии, углы между осью и сторонами равны. Следовательно, линия сгиба и есть биссектриса. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром).

Ответ: Точка, в которой пересекаются линии сгибов, делящие углы треугольника пополам, является искомой точкой пересечения биссектрис (инцентром).