Номер 87, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

87. На рисунке 133 треугольник $ABC$ — равнобедренный, где $AB = BC$. Докажите, что треугольник $KBM$ также равнобедренный, если:

а) $AK = CM$;

б) $AM = CK$;

в) $\angle ABK = \angle CBM$.

Рис. 133

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равнобедренный, где $AB = BC$. Из этого следует, что углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Чтобы доказать, что треугольник $KBM$ также равнобедренный, необходимо доказать равенство сторон $BK$ и $BM$.

а) AK = CM;

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$.
1. $AB = BC$ по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.
2. $\angle BAK = \angle BCM$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
3. $AK = CM$ по условию этого пункта.
Следовательно, $\triangle ABK \cong \triangle CBM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BK = BM$.
Поскольку две стороны треугольника $KBM$ равны, он является равнобедренным.
Ответ: Утверждение доказано.

б) AM = CK;

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBK$.
1. $AB = BC$ по условию.
2. $\angle BAM = \angle BCK$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
3. $AM = CK$ по условию этого пункта.
Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle CBK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BM = BK$.
Таким образом, треугольник $KBM$ является равнобедренным, так как его стороны $BK$ и $BM$ равны.
Ответ: Утверждение доказано.

в) ∠ABK = ∠CBM.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBM$.
1. $AB = BC$ по условию.
2. $\angle BAK = \angle BCM$ как углы при основании равнобедренного треугольника.
3. $\angle ABK = \angle CBM$ по условию этого пункта.
Следовательно, $\triangle ABK \cong \triangle CBM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BK = BM$.
Таким образом, треугольник $KBM$ является равнобедренным.
Ответ: Утверждение доказано.