Номер 92, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

92. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AC = BC$. Также, по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Проведем медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $BN$ к боковой стороне $AC$. По определению медианы, она делит сторону, к которой проведена, на два равных отрезка. Таким образом:

• Точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = \frac{1}{2}BC$.
• Точка $N$ является серединой стороны $AC$, следовательно, $AN = \frac{1}{2}AC$.

Так как $AC = BC$, то и половины этих сторон равны между собой, то есть $AN = BM$.

Для доказательства равенства медиан $AM$ и $BN$ рассмотрим треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle BAM$.

Сравним эти треугольники по элементам:

1. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.
2. Сторона $AN$ треугольника $\triangle ABN$ равна стороне $BM$ треугольника $\triangle BAM$, как было показано выше.
3. Угол $\angle NAB$ (он же $\angle CAB$) треугольника $\triangle ABN$ равен углу $\angle MBA$ (он же $\angle CBA$) треугольника $\triangle BAM$, так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABN$ равен треугольнику $\triangle BAM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В $\triangle ABN$ это стороны $AB$ и $AN$ и угол $\angle NAB$ между ними. В $\triangle BAM$ это стороны $BA$ и $BM$ и угол $\angle MBA$ между ними.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BN$ в $\triangle ABN$ является соответственной стороне $AM$ в $\triangle BAM$. Следовательно, $BN = AM$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство медиан, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, доказано.