Номер 97, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

97*. В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $CM$ к боковым сторонам. Биссектрисы пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\triangle AOM = \triangle COK$.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ — основание. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

По условию задачи, $AK$ — биссектриса угла $\angle BAC$ (точка $K$ лежит на стороне $BC$), а $CM$ — биссектриса угла $\angle BCA$ (точка $M$ лежит на стороне $AB$). Биссектрисы пересекаются в точке $O$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle COK$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. Сравним стороны $AO$ и $CO$.
Рассмотрим треугольник $AOC$. Углы при его основании $AC$ определяются биссектрисами:

• $\angle OAC = \angle KAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ (так как $AK$ — биссектриса).
• $\angle OCA = \angle MCA = \frac{1}{2}\angle BCA$ (так как $CM$ — биссектриса).

Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то и их половины равны, следовательно, $\angle OAC = \angle OCA$. Так как в треугольнике $AOC$ два угла равны, он является равнобедренным, и стороны, лежащие против равных углов, равны: $AO = CO$.

2. Сравним углы, прилежащие к этим сторонам.

• Рассмотрим углы $\angle AOM$ и $\angle COK$. Они образованы пересечением двух прямых $AK$ и $CM$, поэтому являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOM = \angle COK$.
• Рассмотрим углы $\angle OAM$ и $\angle OCK$. Угол $\angle OAM$ — это тот же угол, что и $\angle BAK$, и он равен $\frac{1}{2}\angle BAC$. Угол $\angle OCK$ — это тот же угол, что и $\angle BCM$, и он равен $\frac{1}{2}\angle BCA$. Так как $\angle BAC = \angle BCA$, то $\angle OAM = \angle OCK$.

3. Вывод.
Мы установили, что в треугольниках $\triangle AOM$ и $\triangle COK$:

• сторона $AO$ равна стороне $CO$;
• прилежащий к ней угол $\angle OAM$ равен прилежащему углу $\angle OCK$;
• другой прилежащий угол $\angle AOM$ равен прилежащему углу $\angle COK$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle AOM = \triangle COK$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle COK$ доказано.