Номер 98, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

98*. Одна сторона пролета моста представляет собой объединение семи равных равнобедренных треугольников, сваренных из металлических балок (рис. 135).

Периметр одного такого треугольника равен 11 м. На изготовление одной стороны пролета моста пошло 59 м металлических балок.

Определите длину (по низу) всего пролета.

Рис. 135

Пусть стороны равнобедренного треугольника, из которых состоит пролет моста, имеют длины $a$ и $b$, где $a$ – длина основания, а $b$ – длина боковой стороны.

Периметр одного такого треугольника равен сумме длин его сторон: $P = a + b + b = a + 2b$. По условию задачи, периметр равен 11 м, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$a + 2b = 11$

Теперь проанализируем всю конструкцию, изображенную на рис. 135. Она состоит из 7 равных равнобедренных треугольников. Данная ферма (конструкция) состоит из 4 треугольников, основания которых образуют нижний пояс моста, и 3 треугольников, основания которых образуют верхний пояс. Все горизонтальные балки являются основаниями треугольников (длиной $a$), а все наклонные балки – их боковыми сторонами (длиной $b$).

Подсчитаем общее количество балок каждого типа:

• Нижний пояс состоит из 4 балок-оснований.
• Верхний пояс состоит из 3 балок-оснований.

Всего балок-оснований (длиной $a$): $4 + 3 = 7$.

Подсчитаем количество наклонных балок (боковых сторон). В конструкции имеется 8 наклонных балок длиной $b$.

Общая длина всех металлических балок, использованных для изготовления пролета, равна сумме длин всех этих балок: $L = 7a + 8b$. По условию, на изготовление ушло 59 м балок, значит, получаем второе уравнение:$7a + 8b = 59$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:$\begin{cases} a + 2b = 11 \\ 7a + 8b = 59 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $a$:$a = 11 - 2b$

Подставим это выражение во второе уравнение:$7(11 - 2b) + 8b = 59$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $b$:$77 - 14b + 8b = 59$$77 - 6b = 59$$6b = 77 - 59$$6b = 18$$b = 3$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна 3 м. Теперь найдем длину основания $a$:$a = 11 - 2b = 11 - 2 \cdot 3 = 11 - 6 = 5$

Длина основания треугольника равна 5 м.

Вопрос задачи – определить длину всего пролета по низу. Нижний пояс пролета состоит из 4 балок-оснований, каждая длиной $a$. Следовательно, его общая длина равна:$L_{низу} = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ м.

Ответ: 20 м.