Номер 94, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

94. Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.

Дано:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. $AB$ – хорда этой окружности, причем $AB$ не является диаметром (то есть не проходит через центр $O$). $CD$ – диаметр окружности, который проходит через точку $M$, являющуюся серединой хорды $AB$. Таким образом, $AM = MB$.

Доказать:

Необходимо доказать, что диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$, то есть $CD \perp AB$.

Доказательство:

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Рассмотрим полученный треугольник $\triangle AOB$.

Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По условию задачи, точка $M$ – середина хорды $AB$. Отрезок $OM$ соединяет вершину равнобедренного треугольника ($O$) с серединой его основания ($M$). Таким образом, $OM$ является медианой треугольника $\triangle AOB$, проведенной к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, также является его высотой и биссектрисой. Нас интересует свойство высоты. Так как $OM$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AB$. То есть, $OM \perp AB$.

Диаметр $CD$ по условию проходит через точку $M$. Любой диаметр также проходит через центр окружности $O$. Следовательно, точки $C, O, M, D$ лежат на одной прямой. Это означает, что отрезок $OM$ является частью диаметра $CD$.

Поскольку отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$, то и вся прямая, содержащая диаметр $CD$, перпендикулярна хорде $AB$. Таким образом, $CD \perp AB$.

Утверждение доказано.

Ответ: Диаметр окружности, проходящий через середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде, что и требовалось доказать.