Номер 100, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

100. Найдите сторону или угол, обозначенные знаком вопроса (рис. 140). Объясните свой ответ.

а) $20$

$?$

б) $62^\circ$

$?$

в) $18$

$?$

г) $58^\circ$

$?$

Рис. 140

а) В треугольнике зеленый отрезок является одновременно высотой (так как перпендикулярен стороне) и медианой (так как делит эту сторону пополам, что показано штрихами). По признаку равнобедренного треугольника, если высота к стороне является и ее медианой, то треугольник — равнобедренный. Равными сторонами являются те, что прилегают к вершине, из которой проведена высота-медиана. Длина одной из этих сторон — 20. Следовательно, длина стороны, обозначенной знаком вопроса, также равна 20.
Ответ: 20

б) В данном треугольнике зеленый отрезок является одновременно высотой (перпендикулярен стороне) и биссектрисой (делит угол пополам, что показано дугами). Треугольник, в котором высота совпадает с биссектрисой, является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Один из углов при основании равен $62^\circ$. Искомый угол, отмеченный знаком вопроса, является вторым углом при основании. Следовательно, он также равен $62^\circ$.
Ответ: $62^\circ$

в) Зеленый отрезок в этом треугольнике является одновременно биссектрисой угла (делит его пополам, что обозначено дугами) и медианой (делит противолежащую сторону пополам, что обозначено штрихами). Если в треугольнике биссектриса является и медианой, то такой треугольник — равнобедренный. Равными являются стороны, прилежащие к вершине, из которой проведены биссектриса и медиана. Длина одной из этих сторон равна 18. Следовательно, длина другой стороны, обозначенной знаком вопроса, также равна 18.
Ответ: 18

г) В данном треугольнике зеленый отрезок является одновременно высотой и медианой. Такой треугольник является равнобедренным, а углы при основании (стороне, к которой проведен отрезок) равны. На рисунке угол в $58^\circ$ показан как внешний, что привело бы к тому, что внутренний угол равен $180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$, а это невозможно для угла при основании равнобедренного треугольника, так как сумма двух таких углов превысит $180^\circ$. Поэтому будем считать, что $58^\circ$ — это величина внутреннего угла при основании. Тогда второй угол при основании также равен $58^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине равен $180^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой. Знак вопроса указывает на половину угла при вершине. Таким образом, искомый угол равен $64^\circ / 2 = 32^\circ$.
Ответ: $32^\circ$