Номер 101, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

101. В треугольнике $ABC$ высота $BK$ делит сторону $AC$ пополам, биссектриса $AM$ перпендикулярна стороне $BC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BM = 2,4 \text{ см}$.

Рассмотрим свойства треугольника $ABC$ исходя из условий задачи.

1. Высота BK является медианой. По условию, высота $BK$ (то есть $BK \perp AC$) делит сторону $AC$ пополам. Это означает, что $K$ – середина стороны $AC$, и, следовательно, $BK$ является медианой треугольника $ABC$. Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным. В данном случае, высота и медиана проведены из вершины $B$ к стороне $AC$, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что боковые стороны равны: $AB = BC$.

2. Биссектриса AM является высотой. По условию, биссектриса $AM$ (делит $\angle BAC$ пополам) перпендикулярна стороне $BC$ (то есть $AM \perp BC$). Это означает, что $AM$ является также и высотой треугольника $ABC$. Если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то такой треугольник является равнобедренным. В данном случае, биссектриса и высота проведены из вершины $A$ к стороне $BC$, значит, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$. Отсюда следует, что боковые стороны равны: $AB = AC$.

3. Определение вида треугольника и вычисление периметра. Из пункта 1 мы получили $AB = BC$. Из пункта 2 мы получили $AB = AC$. Объединив эти два равенства, получаем, что все стороны треугольника равны: $AB = BC = AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из любой вершины, является также и медианой. Так как $AM$ — биссектриса, то она является и медианой к стороне $BC$. Это означает, что точка $M$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $M$ — середина $BC$.

Таким образом, $BC = 2 \cdot BM$.

По условию дано, что $BM = 2,4$ см. Найдем длину стороны $BC$: $BC = 2 \cdot 2,4 = 4,8$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны $4,8$ см. Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 3 \cdot BC = 3 \cdot 4,8 = 14,4$ см.

Ответ: 14,4 см.