Номер 106, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

106*. В треугольнике $ABC$ с периметром 24 см проведена медиана $CK$, равная 8 см, $\angle KCB = \angle KCA$. Найдите периметр треугольника $KAC$.

1. Анализ свойств треугольника ABC

По условию задачи, отрезок CK является медианой в треугольнике ABC. Это означает, что точка K делит сторону AB пополам, то есть $AK = KB$.

Также по условию $\angle KCB = \angle KCA$. Это означает, что CK является биссектрисой угла C.

Так как в треугольнике ABC отрезок CK, проведенный из вершины C, является одновременно и медианой, и биссектрисой, то по свойству равнобедренного треугольника, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, боковые стороны AC и BC равны: $AC = BC$.

2. Использование периметра треугольника ABC

Периметр треугольника ABC ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

По условию, $P_{ABC} = 24$ см.

Используя выводы из первого пункта, мы можем переписать формулу периметра:

Поскольку $AB = AK + KB$ и $AK = KB$, то $AB = 2 \cdot AK$.

Поскольку $AC = BC$, то $BC + AC = 2 \cdot AC$.

Подставим это в формулу периметра:

$P_{ABC} = 2 \cdot AK + 2 \cdot AC = 2(AK + AC)$.

Нам известно, что $P_{ABC} = 24$ см, следовательно:

$2(AK + AC) = 24$ см.

Разделив обе части уравнения на 2, получаем сумму длин двух сторон треугольника KAC:

$AK + AC = 12$ см.

3. Нахождение периметра треугольника KAC

Периметр треугольника KAC ($P_{KAC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{KAC} = AK + AC + CK$.

Из предыдущего шага мы нашли, что $AK + AC = 12$ см.

Длина медианы CK дана в условии и равна 8 см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника KAC:

$P_{KAC} = (AK + AC) + CK = 12 + 8 = 20$ см.

Ответ: 20 см.