Номер 110, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

110. Докажите, что если в окружности с центром $O$ провести две равные хорды $MK$ и $NE$, то углы $MOK$ и $NOE$ будут равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Докажите, что если в окружности с центром O провести две равные хорды MK и NE, то углы MOK и NOE будут равны.

Рассмотрим треугольники $ΔMOK$ и $ΔNOE$, образованные хордами и радиусами, проведенными к их концам.

В этих треугольниках:

1. $OM = ON$ (как радиусы одной и той же окружности).
2. $OK = OE$ (также как радиусы).
3. $MK = NE$ (согласно условию задачи).

Поскольку все три стороны треугольника $ΔMOK$ соответственно равны трём сторонам треугольника $ΔNOE$, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $∠MOK$ находится напротив стороны $MK$, а угол $∠NOE$ — напротив стороны $NE$. Так как стороны $MK$ и $NE$ равны, то и противолежащие им углы также равны: $∠MOK = ∠NOE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Формулировка обратного утверждения: Если в окружности с центром $O$ два центральных угла равны, то хорды, на которые они опираются, также равны.

Доказательство:
Пусть в окружности с центром $O$ даны два равных центральных угла: $∠MOK = ∠NOE$. Нужно доказать, что стягивающие их хорды $MK$ и $NE$ равны.

Рассмотрим треугольники $ΔMOK$ и $ΔNOE$.

В этих треугольниках:

1. $OM = ON$ (как радиусы одной и той же окружности).
2. $OK = OE$ (также как радиусы).
3. $∠MOK = ∠NOE$ (согласно условию).

Поскольку две стороны и угол между ними в треугольнике $ΔMOK$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ΔNOE$, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $MK$ находится напротив угла $∠MOK$, а сторона $NE$ — напротив угла $∠NOE$. Так как углы $∠MOK$ и $∠NOE$ равны, то и противолежащие им стороны также равны: $MK = NE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.