Номер 117, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

117*. Треугольники $AOC$ и $DOB$ равны и $AO \neq OB$ (рис. 151). Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Докажите, что треугольник $AMD$ — равнобедренный.

Рис. 151

Для того чтобы доказать, что треугольник $AMD$ является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны равны. Докажем, что $AM = DM$. Для этого докажем равенство треугольников $AMC$ и $DMB$.

По условию задачи, треугольники $AOC$ и $DOB$ равны, то есть $ \triangle AOC \cong \triangle DOB $. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:

• $AC = DB$
• $OC = OB$
• $\angle OCA = \angle OBD$

Также по условию точка $M$ является серединой отрезка $BC$, что означает $CM = MB$.

Рассмотрим треугольник $OCB$. Поскольку его стороны $OC$ и $OB$ равны (согласно следствию из равенства $ \triangle AOC \cong \triangle DOB $), $ \triangle OCB $ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OCB = \angle OBC$.

Теперь сравним углы $ \angle ACM $ и $ \angle DBM $. Исходя из расположения точек на рисунке, можно записать:

$\angle ACM = \angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$

$\angle DBM = \angle DBC = \angle OBD + \angle OBC$

Так как мы установили, что $\angle OCA = \angle OBD$ и $\angle OCB = \angle OBC$, то, сложив почленно эти два равенства, получаем:

$\angle OCA + \angle OCB = \angle OBD + \angle OBC$

Это означает, что $\angle ACB = \angle DBC$, и, следовательно, $\angle ACM = \angle DBM$.

Теперь мы имеем достаточно данных для доказательства равенства треугольников $AMC$ и $DMB$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними):

1. $AC = DB$ (из равенства $ \triangle AOC \cong \triangle DOB $)
2. $\angle ACM = \angle DBM$ (доказано выше)
3. $CM = MB$ (по условию)

Из этого следует, что $ \triangle AMC \cong \triangle DMB $.

Так как треугольники $AMC$ и $DMB$ равны, то равны и их соответствующие стороны. Стороне $AM$ в треугольнике $AMC$ соответствует сторона $DM$ в треугольнике $DMB$. Таким образом, $AM = DM$.

Поскольку в треугольнике $AMD$ две стороны ($AM$ и $DM$) равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Замечание: Условие $ AO \neq OB $ не используется в данном доказательстве и, вероятно, дано для исключения частных, более простых конфигураций.

Ответ: Доказано, что треугольник $AMD$ является равнобедренным.